Câu hỏi:

19/08/2025 2,606

Cho các số thực a, b thoả mãn: a > 0, b > 0 và ${(a + b)}^{3} = 2 (1 - a^{2} - b^{2}) .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{a b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có ${(a + b)}^{3} = 2 (1 - a^{2} - b^{2}) \Leftrightarrow {(a + b)}^{3} + 2 (a^{2} + b^{2}) = 2.$

Vì a > 0, b > 0 ta có $2 (a^{2} + b^{2}) \geq {(a + b)}^{2}$ (theo AM – GM)

$\Rightarrow {(a + b)}^{3} + {(a + b)}^{2} \leq 2 \Leftrightarrow {(a + b)}^{3} + {(a + b)}^{2} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow (a + b - 1) [{(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 2] \leq 0$

$\Leftrightarrow a + b - 1 \leq 0$ (vì ${(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 2 > 0$ với a > 0, b > 0)

Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} (x > 0, y > 0) (*)$

Ta có $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta được:

$\frac{1}{a b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} \Leftrightarrow \frac{1}{2 a b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{4}{{(a + b)}^{2}} \geq 4$ (vì $a + b \leq 1$ )

Với $a > 0, b > 0$ , ta có $1 \geq a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Rightarrow 1 \geq 4 a b \Rightarrow \frac{1}{2 a b} \geq 2.$

Khi đó $M = \frac{1}{a b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}} = (\frac{1}{2 a b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}) + \frac{1}{2 a b} \geq 4 + 2 \Leftrightarrow M \geq 6.$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \frac{1}{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 khi và chỉ khi $a = b = \frac{1}{2} .$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O;R) tại điểm $E (E \neq D) .$ Gọi I là trung điểm của DE

1) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

2) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC Chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA

3) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O;R (ảnh 1)

a) Xét đường tròn (O) có:

• DE là dây không đi qua tâm O và I là trung điểm của DE

Suy ra $O I ⊥ D E$ tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) nên $\hat{A I O} = 90 ° .$

• AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $A B ⊥ O B, A C ⊥ O C$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra $\hat{A B O} = \hat{A C O} = 90 ° .$ Do đó $\hat{A B O} = \hat{A C O} = \hat{A I O} = 90 ° .$

Vậy năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO

b) Xét đường tròn (O;R) có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $O B = O C = R$ nên OA là đường trung trực của BC

Do đó $O A ⊥ B C$ tại H hay $\hat{A H K} = 90 ° .$

Xét $Δ A H K$ và $Δ A I O$ có: $\hat{A H K} = \hat{A I O} = 90 °$ và $\hat{H A K}$ là góc chung

Do đó $Δ A H K ∽ Δ A I O (g.g).$ Suy ra $\frac{A H}{A I} = \frac{A K}{A O}$ hay $A K \cdot A I = A H \cdot A O .$

Ta có BD // AC nên $\hat{B D E} = \hat{F A E}$ (hai góc so le trong)

Mà $\hat{B D E} = \hat{F B A}$ (cùng chắn $\overset{⏜}{E B}$ của $(O; R))$ nên $\hat{F A E} = \hat{F B A} .$

Xét $Δ A F E$ và $Δ B F A$ có: $\hat{A F E}$ là góc chung và $\hat{F A E} = \hat{F B A} .$

Do đó $Δ A F E ∽ Δ B F A (g.g).$

c) Ta có $Δ A F E ∽ Δ B F A$ (câu b) suy ra $\frac{F E}{F A} = \frac{F A}{F B}$ hay $F A^{2} = F B \cdot F E . (1)$

Xét $Δ F E C$ và $Δ F C B$ có: $\hat{E F C}$ là góc chung và $\hat{F C E} = \hat{F B C}$ (cùng chắn $\overset{⏜}{E C}$ của $(O; R))$

Do đó $Δ F E C ∽ Δ F C B (g.g).$ Suy ra $\frac{F E}{F C} = \frac{F C}{F B}$ hay $F C^{2} = F B \cdot F E . (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $F A^{2} = F C^{2}$ nên FA = FC. Do đó F là trung điểm của đoạn thẳng AC

Gọi G là giao điểm của FK và BD

Ta có BG // FC suy ra $\frac{B G}{F C} = \frac{K G}{K F}$ (hệ quả định lí Thalès);

DG // AF suy ra $\frac{D G}{A F} = \frac{K G}{K F}$ (hệ quả định lí Thalès).

Suy ra $\frac{B G}{F C} = \frac{D G}{A F}$ mà AF = CF nên BG = DG. Do đó G là trung điểm của BD

Kéo dài AB cắt D tại J. Gọi G' là giao điểm của JF và BD.

• Xét $Δ J A F$ có BG' // AF nên ta có: $\frac{B G^{'}}{A F} = \frac{J G^{'}}{J F}$ (hệ quả định lí Thalès);

• Xét $Δ J F C$ có DG' // CF nên ta có: $\frac{D G^{'}}{C F} = \frac{J G^{'}}{J F}$ (hệ quả định lí Thalès).

Do đó $\frac{B G^{'}}{A F} = \frac{D G^{'}}{C F}$ mà AF = CF nên BG' = DG'

Khi đó G' là trung điểm của BD nên $G^{'} \equiv G .$

Do đó ba điểm F, K, J thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Câu 2

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 9 = 0$ (1) x là ẩn, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = -3

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Với $m = - 3$ phương trình (1) có dạng:

$x^{2} + 8 x = 0 \Leftrightarrow x (x + 8) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 8 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 8 \end{array}$

Vậy khi $m = - 3,$ phương trình có nghiệm là $x = 0; x = - 8.$

b) Ta có $Δ^{'} = {[- (m - 1)]}^{2} - m^{2} + 9 = m^{2} - 2 m + 1 - m^{2} + 9 = - 2 m + 10$ .

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ khi và chỉ khi $Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow - 2 m + 10 > 0 \Leftrightarrow m < 5.$

Theo định lí Vi-et, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) (2) \\ x_{1} x_{2} = m^{2} - 9 (3) \end{cases}$

Theo đề bài, ta có: $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10$ , kết hợp với (2) ta được: $x_{1} = 2 m - 6; x_{2} = 4$ .

Thay $x_{1} = 2 m - 6; x_{2} = 4$ vào (3) ta được:

$(2 m - 6) 4 = m^{2} - 9 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 15 = 0 \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn) hoặc m = 5 (loại).

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10.$

Câu 3

Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi 100 m Nhà trường tiến hành mở rộng mảnh vườn đó bằng cách tăng chiều dài thêm 5 m và chiều rộng thêm 4 m khi đó diện tích tăng thêm 240 m² . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn trước khi mở rộng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một chi tiết máy gồm một phân có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước như vẽ. Biết rằng phần hình trụ có chu vi đáy là 37,68 m. Tính thể tích của chi tiết máy đó (lấy $π \approx 3, 14;$ kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một quyển vở giá 14 000 đồng, một hộp bút giá 30 000 đồng. Minh muốn mua một hộp bút và một số quyển vở.

a) Gọi $x (x \in ℕ *)$ là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyển vở và một hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x

b) Nếu Minh có 300 000 đồng để mua vở và một hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 (x - 3) + 3 (3 x + y) = - 11 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho các số thực a, b thoả mãn: a > 0, b > 0 và ${(a + b)}^{3} = 2 (1 - a^{2} - b^{2}) .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{a b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}$ .

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 9 = 0$ (1) x là ẩn, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = -3

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - x_{2} = 2 m - 10.$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 (x - 3) + 3 (3 x + y) = - 11 \\ (x - 3) - 2 (3 x + y) = 5 \end{cases} .$