Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Toán Phú Thọ có đáp án

a) Phương trình (1) có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( {{m^2} - 2m - 8} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 2m + 8 = 9 > 0\;\) với mọi m \( \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3\) suy ra phương trình (1) có hai nghiệm: \(m + 2\) và \(m - 4\).

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \({x_1} = m + 2;{x_2} = m - 4\) để \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} \) thì

\(m + 2 + 6 = \sqrt {m - 4} \;\;\left( {dk:m \ge 4} \right)\)

                                                                    \( \Rightarrow m + 8 = \sqrt {m - 4} \)

                                                          \( \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 64 = m - 4\)

                                        \( \Leftrightarrow {m^2} + 15m + 68 = 0\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình (2) có \({\Delta _m} = {15^2} - 4.1.68 = - 47 < 0\) suy ra phương trình(2) vô nghiệm

Trường hợp 2: \({x_1} = m - 4;{x_2} = m + 2\) để \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} {\rm{\;}}\)thì

                                               \(m - 4 + 6 = \sqrt {m + 2} \;\left( {dk:m \ge - 2} \right)\)

                                                               \( \Leftrightarrow m + 2 = \sqrt {m + 2} \)

                     \( \Leftrightarrow \sqrt {m + 2} \left( {\sqrt {m + 2} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 2 = 0}\\{m + 2 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 2}\\{m = - 1}\end{array}\;\;\left( {tm} \right)} \right.} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

b) Với \(a \ne 0;a \ne 1\) ta có:

\({\left( {1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{{a + 1}}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 1}} - \frac{2}{{a\left( {a + 1} \right)}}\)

\( = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {a + 1 - a - 1} \right)}}{{a\left( {a + 1} \right)}} = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{{a + 1}}\;\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng (*) ta có:

\(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {2023} \right)\)

=\(\sqrt {1 + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}} + \;\sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3 + 1} \right)}^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{2023}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2023 + 1} \right)}^2}}}} \)

= \(\sqrt {1 + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{2023}^2}}} + \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \)

= \(\left( {1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \ldots + \left( {1 + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}}} \right)\)

= \(2024 - \frac{1}{{2024}} = \frac{{4096575}}{{2024}}\)

a)  Ta có:      \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} \vdots 3\)

                    \( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {\left( {c + d} \right)^3} - 3cd\left( {c + d} \right) \vdots 3\)

                    \( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {c + d} \right)^3} \vdots 3\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\left( {a + b + c + d} \right) \vdots 3\)

                                               \( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^3} \vdots 3\)

                                                                    \( \Rightarrow a + b + c + d \vdots 3\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^2} \vdots 9\) (đpcm)

b) Xét đa thức \(P\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}\), với \(a \in \mathbb{R}\), đa thức \(P\left( x \right)\) có bậc là 2024

Ta có:

\(P\left( {{x^2} - 2} \right) = a.{\left( {{x^2} - 1} \right)^{1012}}{\left( {{x^2} - 4} \right)^{1012}} = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}{\left( {x - a} \right)^{1012}}{\left( {x + 2} \right)^{1012}}\)

\( = P\left( x \right){\left( {x - 1} \right)^{1012}}{\left( {x + 2} \right)^{1012}}\)

\( \Rightarrow P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho đa thức \(P\left( x \right)\)

Vậy tồn tại đa thức \(P\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}\) với hệ số thức, có bậc 2024 thỏa mãn đã thức \(P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho đa thức \(P\left( x \right)\).

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x + \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right) = 1 - y + \sqrt {{y^2} + 3} \;\;\;\left( 1 \right)}\\{{y^2} - 2\left( {x - 2} \right) = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2x} \right)\;\;\left( 2 \right)} }\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1)

\( \Rightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left[ {{y^2} + 3 - 4\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right].\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left[ {{y^2} + 3 - 4\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right].\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left[ {{y^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right].\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left( {y - 2x + 1} \right).\left( {y + 2x - 1} \right).\;\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right)\left[ {\frac{{y - 2x + 1}}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y - 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y - 2x + 1 = \sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }\end{array}} \right.\)

+) Trường hợp 1: \(2x + y - 1 = 0 \Rightarrow 2x = - y + 1\) thay vào phương trình (2) ta được

(2) \( \Leftrightarrow {y^2} - 1 + y + 4 = 3\sqrt {(y + 1\left( {{y^2} - y + 1} \right)} \Leftrightarrow {y^2} - y + 1 + 2y + 2 = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1} \right)} \)

Đặt \(a = y + 1;b = {y^2} - y + 1 \Rightarrow 2{a^2} - 3ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right) = 0\)

Với \(a = b \Rightarrow y + 1 = {y^2} - y + 1 \Leftrightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}}\\{y = 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(2a = b \Rightarrow 2y + 2 = {y^2} - y + 1 \Leftrightarrow {y^2} - 3y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{\sqrt {13} + 3}}{2} \Rightarrow x = \frac{{ - \sqrt {13} - 1}}{4}}\\{y = \frac{{ - \sqrt {13} + 3}}{2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {13} - 5}}{4}}\end{array}} \right.\)

+) Trường hợp 2: \(y - 2x + 1 = \sqrt {{y^2} + 3\;} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \)   ĐK \(y - 2x + 1 \ge 0\)

Bình phương hai vế ta được

\({\left( {y - 2x + 1} \right)^2} = {y^2} + 3 = 4\left( {{x^2} - x + 1} \right) + 4\sqrt {\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {y^2} + 4{x^2} + 1 - 4xy - 4x + 2y = {y^2} + 4{x^2} - 4x + 7 + 4\sqrt {\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow - 4x + 2y - 6 = 4\sqrt {\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)   (3)

Điều kiện: \(y \ge 2x + 3\)

Bình phương hai vế của (3) ta được

\({\left( { - 2{x^2} + y - 3} \right)^2} = 4\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + {y^2} + 9 - 4xy + 12x - 6y = 4{x^2}{y^2} - 4x{y^2} + 4{y^2} + 12{x^2} - 12x + 12\)

           \( \Leftrightarrow 3\left( {4{x^2} + {y^2} + 1 - 4xy - 4x + 2y} \right) = 0\)

                                                    \( \Leftrightarrow {\left( {2x - y - 1} \right)^2} = 0\)

                                                                          \( \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0\)

                                                                             \( \Leftrightarrow 2x = y + 1\)

Kết hợp với điều kiện \(y \ge 2x + 3\)

Ta có \(2x = y + 1 \ge 2x + 4 \Leftrightarrow 0 \ge \;4\) (vô lí)

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm

\(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{1}{2};0} \right);\left( {\frac{{ - 1}}{2};2} \right);\left( {\frac{{ - \sqrt {13} - 1}}{4};\frac{{\sqrt {13} + 3}}{2}} \right);\left( {\frac{{\sqrt {13} - 5}}{4};\frac{{ - \sqrt {13} + 3}}{2}} \right)} \right\}\)

b) Gọi 11 số nguyên dương là \({a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{11}}\). Ta có \({a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{11}} = 30\)

Xét dãy 11 số \({a_1},\;{a_1} + {a_2},{a_1} + {a_2} + {a_3}, \ldots ,\;{a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{11}}\)

Nếu trong dãy không có số nào chia hết cho 10 thì tồn tại ít nhất 2 số chia 10 có cùng số dư. Nên hiệu chia hết cho 10.

Đặt hiệu đó là \(A\). Với \(A\) là tổng của một số số \({a_i}\) (với \(i \in \left\{ {1,2,3, \ldots ,11} \right\}\)

Ta có \(0 < A < 30\) mà \(A \vdots 10\) nên \(A \in \left\{ {10;20} \right\}\)

Nếu \(A = 10\) bài toán được chứng minh.

Nếu \(a = 20\) mà \({a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{11}} = 30\) suy ra các số còn lại có tổng bẳng 10. Bài toán được chứng minh.

Nếu trong dãy số có 1 số chia hết cho 10. Chứng minh tương tự như trên khi đó bài toán được chứng minh.

Ta có \(\left( {a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} } \right).F \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\)

Đặt \(Q = a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} \)

\({Q^2} = {\left[ {\sqrt a \sqrt {{a^3} + 9ac} + \sqrt b \sqrt {{b^3} + 9ac} + \sqrt c \sqrt {{c^3} + 9ab} } \right]^2} \le \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right)\)

Ta lại có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^3} - 24abc\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right) \le \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 3abc} \right]\) mà \(3abc \le \) \(\frac{{{{\left( {a + b + C} \right)}^3}}}{9}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right) \le \frac{{10{{\left( {a + b + c} \right)}^4}{\rm{\;\;}}}}{9}\)

\( \Rightarrow Q \le \frac{{\sqrt {10} {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\;\)mà \(\left( {a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} } \right).F \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\)

Suy ra \(F \ge \) \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Vậy min F = \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\)