Xét các số thực dương \(a,b,c\); Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(F = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 9bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 9ac} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 9ab} }}.\)
Xét các số thực dương \(a,b,c\); Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(F = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 9bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 9ac} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 9ab} }}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\left( {a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} } \right).F \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\)
Đặt \(Q = a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} \)
\({Q^2} = {\left[ {\sqrt a \sqrt {{a^3} + 9ac} + \sqrt b \sqrt {{b^3} + 9ac} + \sqrt c \sqrt {{c^3} + 9ab} } \right]^2} \le \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right)\)
Ta lại có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^3} - 24abc\)
\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right) \le \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 3abc} \right]\) mà \(3abc \le \) \(\frac{{{{\left( {a + b + C} \right)}^3}}}{9}\)
\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right) \le \frac{{10{{\left( {a + b + c} \right)}^4}{\rm{\;\;}}}}{9}\)
\( \Rightarrow Q \le \frac{{\sqrt {10} {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\;\)mà \(\left( {a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} } \right).F \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\)
Suy ra \(F \ge \) \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Vậy min F = \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
AM cắt BN tại I => I là trực tâm \(CI \bot AB\;\)
\( \Rightarrow AI \bot CB \Rightarrow B,M,C\) thẳng hàng.
Dễ thấy \(\Delta BCH \sim \Delta ICM \Rightarrow CB.CM = CI.CH\)
Dễ thấy \(\widehat {NHI} = \widehat {MHI} = \widehat {MBI} = \widehat {IAN} \Rightarrow \widehat {NHA} = \widehat {BHM}\)
Mà \(\widehat {NHA} = \widehat {KHA}\) tính chất đối xứng
\( \Rightarrow \widehat {AHK} = \widehat {BHM}\) mà \(\widehat {BHM} + \widehat {MHA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {AHK} + \widehat {AHM} = {180^0}\) suy ra K, H, M thẳng hàng.
b) Ta có \(\widehat {PHK} = 2.\widehat {PNK}\) (góc ngoài \(\Delta HNK\) cân)
\(\widehat {KOP} = 2\widehat {KNP}\) góc nội tiếp
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(KOHP\) nội tiếp vì N cố định suy ra OK cố định. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KHP thuộc trung trực OK.
c) Ta có \(\widehat {NMB} = {120^0}\). Trên tia đối MN lấy Q sao cho \(MB = MQ \Rightarrow \widehat {NQB} = {60^0}\)
NB cố định \( \Rightarrow Q\) thuộc cung chứa góc \({60^0}\) dựng trên NB \( \Rightarrow MN + MB\) lớn nhất khi \(NQ\) là đường kính của đường tròn
\(MB = MQ = MN \Rightarrow M \equiv M1,\;Q \equiv Q1\).
Vậy M là trung điểm cung \(NB \Rightarrow MN + MB\) lớn nhất \(MN + NB = 2R\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có: \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} \vdots 3\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {\left( {c + d} \right)^3} - 3cd\left( {c + d} \right) \vdots 3\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {c + d} \right)^3} \vdots 3\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\left( {a + b + c + d} \right) \vdots 3\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^3} \vdots 3\)
\( \Rightarrow a + b + c + d \vdots 3\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^2} \vdots 9\) (đpcm)
b) Xét đa thức \(P\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}\), với \(a \in \mathbb{R}\), đa thức \(P\left( x \right)\) có bậc là 2024
Ta có:
\(P\left( {{x^2} - 2} \right) = a.{\left( {{x^2} - 1} \right)^{1012}}{\left( {{x^2} - 4} \right)^{1012}} = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}{\left( {x - a} \right)^{1012}}{\left( {x + 2} \right)^{1012}}\)
\( = P\left( x \right){\left( {x - 1} \right)^{1012}}{\left( {x + 2} \right)^{1012}}\)
\( \Rightarrow P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho đa thức \(P\left( x \right)\)
Vậy tồn tại đa thức \(P\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}\) với hệ số thức, có bậc 2024 thỏa mãn đã thức \(P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho đa thức \(P\left( x \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập