a) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + \sqrt {{x^2} - x + 1}  = 1 - y + \sqrt {{y^2} + 3} }\\{{y^2} - 2\left( {x - 2} \right) = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2x} \right)} }\end{array}\;\;\;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)} \right..\)

b)    Bạn An viết lên trên bảng 11 số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng 30. Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng 10.

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x + \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right) = 1 - y + \sqrt {{y^2} + 3} \;\;\;\left( 1 \right)}\\{{y^2} - 2\left( {x - 2} \right) = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2x} \right)\;\;\left( 2 \right)} }\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1)

\( \Rightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left[ {{y^2} + 3 - 4\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right].\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left[ {{y^2} + 3 - 4\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right].\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left[ {{y^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right].\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right) = \left( {y - 2x + 1} \right).\left( {y + 2x - 1} \right).\;\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y - 1} \right)\left[ {\frac{{y - 2x + 1}}{{\sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y - 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y - 2x + 1 = \sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }\end{array}} \right.\)

+) Trường hợp 1: \(2x + y - 1 = 0 \Rightarrow 2x = - y + 1\) thay vào phương trình (2) ta được

(2) \( \Leftrightarrow {y^2} - 1 + y + 4 = 3\sqrt {(y + 1\left( {{y^2} - y + 1} \right)} \Leftrightarrow {y^2} - y + 1 + 2y + 2 = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1} \right)} \)

Đặt \(a = y + 1;b = {y^2} - y + 1 \Rightarrow 2{a^2} - 3ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right) = 0\)

Với \(a = b \Rightarrow y + 1 = {y^2} - y + 1 \Leftrightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}}\\{y = 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(2a = b \Rightarrow 2y + 2 = {y^2} - y + 1 \Leftrightarrow {y^2} - 3y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{\sqrt {13} + 3}}{2} \Rightarrow x = \frac{{ - \sqrt {13} - 1}}{4}}\\{y = \frac{{ - \sqrt {13} + 3}}{2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {13} - 5}}{4}}\end{array}} \right.\)

+) Trường hợp 2: \(y - 2x + 1 = \sqrt {{y^2} + 3\;} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \)   ĐK \(y - 2x + 1 \ge 0\)

Bình phương hai vế ta được

\({\left( {y - 2x + 1} \right)^2} = {y^2} + 3 = 4\left( {{x^2} - x + 1} \right) + 4\sqrt {\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {y^2} + 4{x^2} + 1 - 4xy - 4x + 2y = {y^2} + 4{x^2} - 4x + 7 + 4\sqrt {\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow - 4x + 2y - 6 = 4\sqrt {\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)   (3)

Điều kiện: \(y \ge 2x + 3\)

Bình phương hai vế của (3) ta được

\({\left( { - 2{x^2} + y - 3} \right)^2} = 4\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + {y^2} + 9 - 4xy + 12x - 6y = 4{x^2}{y^2} - 4x{y^2} + 4{y^2} + 12{x^2} - 12x + 12\)

           \( \Leftrightarrow 3\left( {4{x^2} + {y^2} + 1 - 4xy - 4x + 2y} \right) = 0\)

                                                    \( \Leftrightarrow {\left( {2x - y - 1} \right)^2} = 0\)

                                                                          \( \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0\)

                                                                             \( \Leftrightarrow 2x = y + 1\)

Kết hợp với điều kiện \(y \ge 2x + 3\)

Ta có \(2x = y + 1 \ge 2x + 4 \Leftrightarrow 0 \ge \;4\) (vô lí)

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm

\(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{1}{2};0} \right);\left( {\frac{{ - 1}}{2};2} \right);\left( {\frac{{ - \sqrt {13} - 1}}{4};\frac{{\sqrt {13} + 3}}{2}} \right);\left( {\frac{{\sqrt {13} - 5}}{4};\frac{{ - \sqrt {13} + 3}}{2}} \right)} \right\}\)

b) Gọi 11 số nguyên dương là \({a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{11}}\). Ta có \({a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{11}} = 30\)

Xét dãy 11 số \({a_1},\;{a_1} + {a_2},{a_1} + {a_2} + {a_3}, \ldots ,\;{a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{11}}\)

Nếu trong dãy không có số nào chia hết cho 10 thì tồn tại ít nhất 2 số chia 10 có cùng số dư. Nên hiệu chia hết cho 10.

Đặt hiệu đó là \(A\). Với \(A\) là tổng của một số số \({a_i}\) (với \(i \in \left\{ {1,2,3, \ldots ,11} \right\}\)

Ta có \(0 < A < 30\) mà \(A \vdots 10\) nên \(A \in \left\{ {10;20} \right\}\)

Nếu \(A = 10\) bài toán được chứng minh.

Nếu \(a = 20\) mà \({a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{11}} = 30\) suy ra các số còn lại có tổng bẳng 10. Bài toán được chứng minh.

Nếu trong dãy số có 1 số chia hết cho 10. Chứng minh tương tự như trên khi đó bài toán được chứng minh.