a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} .\)

b) b) Cho \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \) với \(x \ne 0,\;x \ne  - 1\). Tính \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) +  \ldots  + f\left( {2023} \right)\).

a) Phương trình (1) có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( {{m^2} - 2m - 8} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 2m + 8 = 9 > 0\;\) với mọi m \( \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3\) suy ra phương trình (1) có hai nghiệm: \(m + 2\) và \(m - 4\).

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \({x_1} = m + 2;{x_2} = m - 4\) để \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} \) thì

\(m + 2 + 6 = \sqrt {m - 4} \;\;\left( {dk:m \ge 4} \right)\)

                                                                    \( \Rightarrow m + 8 = \sqrt {m - 4} \)

                                                          \( \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 64 = m - 4\)

                                        \( \Leftrightarrow {m^2} + 15m + 68 = 0\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình (2) có \({\Delta _m} = {15^2} - 4.1.68 = - 47 < 0\) suy ra phương trình(2) vô nghiệm

Trường hợp 2: \({x_1} = m - 4;{x_2} = m + 2\) để \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} {\rm{\;}}\)thì

                                               \(m - 4 + 6 = \sqrt {m + 2} \;\left( {dk:m \ge - 2} \right)\)

                                                               \( \Leftrightarrow m + 2 = \sqrt {m + 2} \)

                     \( \Leftrightarrow \sqrt {m + 2} \left( {\sqrt {m + 2} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 2 = 0}\\{m + 2 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 2}\\{m = - 1}\end{array}\;\;\left( {tm} \right)} \right.} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

b) Với \(a \ne 0;a \ne 1\) ta có:

\({\left( {1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{{a + 1}}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 1}} - \frac{2}{{a\left( {a + 1} \right)}}\)

\( = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {a + 1 - a - 1} \right)}}{{a\left( {a + 1} \right)}} = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{{a + 1}}\;\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng (*) ta có:

\(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {2023} \right)\)

=\(\sqrt {1 + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}} + \;\sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3 + 1} \right)}^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{2023}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2023 + 1} \right)}^2}}}} \)

= \(\sqrt {1 + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{2023}^2}}} + \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \)

= \(\left( {1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \ldots + \left( {1 + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}}} \right)\)

= \(2024 - \frac{1}{{2024}} = \frac{{4096575}}{{2024}}\)