Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Trà Vinh có đáp án

a. Tính giá trị biểu thúc \(A = \sqrt {20}  - 2\sqrt {80}  + 3\sqrt {45} \).

Ta có: \(A = \sqrt {20}  - 2\sqrt {80}  + 3\sqrt {45} \)

\(A = \sqrt {{2^2} \cdot 5}  - 2\sqrt {{4^2} \cdot 5}  + 3\sqrt {{3^2} \cdot 5} \)

\(A = 2 \cdot \sqrt 5  - 2 \cdot 4\sqrt 5  + 3 \cdot 3\sqrt 5 \)

\(A = 2\sqrt 5  - 8\sqrt 5  + 9\sqrt 5 \)

\(A = \left( {2 - 8 + 9} \right) \cdot \sqrt 5 \)

\(A = 3\sqrt 5 \)

Vậy \(A = 3\sqrt 5 \).

b. Giải hệ phurơng trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 12}\\{x - 2y =  - 4}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 12}\\{x - 2y =  - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x = 8}\\{2y = x + 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2y = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).

c. Giải phurơng trình \({x^4} - {x^2} - 12 = 0\).

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} - t - 6 = 0\).

Ta có \({\rm{\Delta }} = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 25 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = \frac{{1 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = 3\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{t_2} = \frac{{1 - \sqrt {25} }}{{2.1}} =  - 2\left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(t = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm \sqrt 3 } \right\}\).

a. Vẽ đồ thị hai hàm số \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

*Vẽ đồ thị hàm số \(\left( d \right):y =  - x + 2\)

Lấy \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

\(y = 0 \Rightarrow x = 2\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(\left( d \right):y =  - x + 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

*Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\)

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;4} \right);B\left( { - 1;1} \right);C\left( {1;1} \right);D\left( {2;4} \right)\) Hệ số \(a = 1 > 0\) nên parabol có bề cong hướng lên. Đổ thị hàm số nhận \({\rm{Oy}}\) làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) như sau:

b. Bằng phép toán, tìm toạ độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điềm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:

                                                         \({x^2} =  - x + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{x + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Với \(x = 1\) ta có: \(y = {1^2} = 1\)

Với \(x =  - 2\) ta có: \(y = {( - 2)^2} = 4\)

Vậy \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại \(\left( { - 2;4} \right)\) và \(\left( {1;1} \right)\)

Chiều dài thang máy là: \(12.0,5 = 6\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Trong \(\Delta {\rm{AHB}}\) vuông tại \({\rm{H}}\) ta có \({\rm{sin}}HAB = \frac{{HB}}{{AB}}\)

Chiều cao \({\rm{HB}}\) của thang cuốn là: \(HB = {\rm{sin}}HAB \cdot AB = {\rm{sin}}{36^ \circ } \cdot 6 \approx 3,5\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Vậy chiều cao thang cuốn là \(3,5m\).

a. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm.

Do \(a = 1 \ne 0\) nên phương trình (1) là phương trình bậc 2

Ta có \({\rm{\Delta }} = {3^2} - 4.1\left( {m + 1} \right) = 9 - 4m - 4 = 5 - 4m\)

Để phương trình có 2 nghiệm thì \({\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{5}{4}\)

Vậy \(m \le \frac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

b. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

Theo a, với \(m \le \frac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 3}\\{{x_1}{x_2} = m + 1}\end{array}} \right.\)

Ta có \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

\( = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

\( = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + 7m + {x_1}{x_2}\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} + 7m\)

\( = {( - 3)^2} + m + 1 + 7m\)

\( = 8m + 10\)

\( \Rightarrow P = 8m + 10\)

Với \(m \le \frac{5}{4} \Rightarrow 8m \le 10 \Rightarrow 8m + 10 \le 20 \Leftrightarrow P \le 20\)

Vậy GTLN của \(P = 20\) khi \(m = \frac{5}{4}\).