$ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}$

$ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}$

$ = \frac{{2\sqrt x - 9 + 9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$ = \frac{{ - \sqrt x + x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$

$P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}$

Để $P$ nhận giá trị là số nguyên thì $\frac{4}{{\sqrt x - 3}}$ phải nhận giá trị là số nguyên$ \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\}$

· $\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 4$ (loại)

· $\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow x = 49$

· $\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1$

· $\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow x = 25$

· $\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x = - 1$ (loại)

· $\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow x = 16$

Vậy $x \in 1;16;25;49\} $ thì $P$ nhận giá trị là số nguyên

Câu 2

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\left( d \right):y = 2mx - 4m + 5$ ($m$ là tham số) và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho ba điểm $O,A,B$ tạo thành tam giác vuông tại $O$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$:

${x^2} = 2mx - 4m + 5$

$ \Rightarrow {x^2} - 2mx + 4m - 5 = 0$

${\rm{\Delta }} = 4{m^2} - 16m + 20 > 0\left( {\forall m} \right)$

$ \Rightarrow $Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = \frac{{2m + \sqrt {4{m^2} - 16m + 20} }}{2} = m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} \Rightarrow {y_A} = {{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)}^2}}\\{{x_B} = \frac{{2m - \sqrt {4{m^2} - 16m + 20} }}{2} = m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} \Rightarrow {y_B} = {{\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)}^2}}\end{array}} \right.$

${\rm{\Delta }}AOB$ vuông tại $O$

$ \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$ (Định lý Pythagoras)

$ \Leftrightarrow x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_B}} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = x_A^2 - 2{x_A}{x_B} + x_B^2 + y_A^2 - 2{y_A}{y_B} + y_B^2$

$ \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {y_A}{y_B} = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) + {\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)^2}{\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = 0}\\{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = - 1}\end{array}} \right.$

Giải $\left( 1 \right)$:

$\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - 4m + 5} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 4m - 5 = 0$

$ \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}$ (loại vì khi $m = \frac{5}{4}$ thì sẽ nhận được ${x_B} = 0$ và ${y_B} = 0$, điểm $B$ trùng với điểm $O$ không tạo được tam giác)

Giải $\left( 2 \right)$:

$\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = - 1$

$ \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - 4m + 5} \right) = - 1$

$ \Leftrightarrow 4m - 5 = - 1$

$ \Leftrightarrow m = 1{\rm{\;}}$(nhận)

vậy $m = 1$

Câu 3

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2$

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} + 3{y^2} - 4x + 9y = 0}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện xác định: ${x^2} - x + 1 \ge 0$ (đúng $\forall x \in \mathbb{R}$)

$2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} $

$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} $

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - 2} \right) = 0{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {{x^2} - x + 1} = 2x - 1{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 2$(nhận)

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 4{x^2} - 4x + 1$

$ \Leftrightarrow {x^2} - x = 4{x^2} - 4x$

$ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 4x\left( {x - 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.$ (nhận)

Vậy $S = \left\{ {0,1;2} \right\}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} - 4x + 3{y^2} + 9y = 0}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của $\left( 2 \right)$ với $3$ ta được:

$3\left( {2{x^2} - 4x + 3y + 9y} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 12x + 9{y^2} + 27y = 0$

lấy $\left( 1 \right) - \left( 3 \right)$ ta được:

${x^3} - {y^3} - 35 - 6{x^2} + 12x - 9{y^2} - 27y = 0$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {y^3} - 9{y^2} - 27y - 27 = 0$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^{2.2}} + 3x{.2^2} - {2^3} - {y^3} - 3{y^{2.3}} - 3y{.3^2} - {3^3} = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {y + 3} \right)^3} = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {y + 3} \right)^3}$

$ \Leftrightarrow x - 2 = y + 3$

$ \Leftrightarrow x = y + 5$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 25$

Thay $x = y + 5$ vào $\left( 4 \right)$ ta được:

${\left( {y + 5} \right)^2} + y\left( {y + 5} \right) + {y^2} = 7$

$ \Leftrightarrow {y^2} + 10y + 25 + {y^2} + 5y + {y^2} = 7$

$ \Leftrightarrow 3{y^2} + 15y + 18 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.$

· Với $y = - 2$, ta có $x = 3$

· Với $y = - 3$, ta có $x = 2$

Vậy nghiệm của hệ là $\left( {3; - 2} \right)$ và $\left( {2; - 3} \right)$

Câu 4

a) Tìm tắt cả cặp sốnguyên $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn phương trình

${x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0.$

b) Một bình nước có dạng hình nó và mực nước trong bình cách đỉnh bình $8{\rm{\;}}cm$ (minh họa như Hình 1). Khi đảo ngược bình lại thì phần không gian trớng của bình có chiều cao $2{\rm{\;}}cm$ (minh họa như Hình 2). Tính chiều cao của bình.

Xem đáp án

Lời giải

${x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 3x + xy - 2{y^2} + 3y - x + 2y - 3 = 2$

$ \Leftrightarrow x\left( {x - 2y + 3} \right) + y\left( {x - 2y + 3} \right) - \left( {x - 2y + 3} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x - 2y + 3} \right) = 2$

Do đó ta có bốn trường hợp:

Trường hợp $1$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 2}\\{x - 2y + 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.$ (Loại)

Trường hợp $1$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 1}\\{x - 2y + 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.$ (Nhận)

Trường hợp $1$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 1}\\{x - 2y + 3 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.$ (Loại)

Trường hợp $1$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 2}\\{x - 2y + 3 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.$ (Nhận)

Vậy cặp $\left( {x;y} \right)$ nguyên cần tìm là: $\left( {1;1} \right)$ và $\left( { - 2;1} \right)$

b) Gọi:

· $h$ là chiều cao bình chứa nước, $r$ là bán kính mặt đáy

· Hình 1: ${h_1} = 8$ là chiều cao phần không chứa nước, ${r_1}$ là bán kính đáy phần không chứa nước

·Hình $2:{h_2}$ là chiều cao phần chứa nước, ${r_2}$ là bán kính đáy phần chứa nước ($h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} \in \mathbb{R}$) và ($h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} > 0$)

$\frac{{{h_1}}}{h} = \frac{{{r_1}}}{r} \Rightarrow {r_1} = \frac{{{h_1}.r}}{h} = \frac{{8r}}{h}$

$\frac{{{h_2}}}{h} = \frac{{{r_2}}}{r} \Rightarrow {r_2} = \frac{{{h_2}.r}}{h} = \frac{{\left( {h - 2} \right).r}}{h}$

Thể tích phần chứa nước ở hình 2 là ${V_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_2^2{h_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\frac{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}.{r^2}}}{{{h^2}}}$

Thế tích phần chứa nước ở hình 1 là ${V_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{{512{\rm{\pi }}{r^2}}}{{3{h^2}}}$

${V_1} = {V_2} \Leftrightarrow {h^3} - 512 = {\left( {h - 2} \right)^3}$

$ \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = 1 + \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( N \right)}\\{h = 1 - \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( L \right)}\end{array}} \right.$

Vậy chiều cao của bình là $1 + \sqrt {85} $

Câu 5

Cho hình bình hành $ABCD$ có $CB = CA$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ trên tia đối của tia $BA$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt đường thẳng $MD$ tại điểm khác $D)$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ căt đường thẳng $MC$ tại điểm $K(K$ khác $M$).

a) Chứng minh tứ giác $ABKC$ nội tiếp

b) Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $BK$. Chứng minh $I$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $M$ thay đổi.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình bình hành $ABCD$ có $CB = CA$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ trên tia đối của tia $BA$ (ảnh 1)$

a) Ta có:

$CA = CB$ mà $CB = DA$ ($ABCD$ là hình bình hành$)$

$ \Rightarrow AC = AD \Rightarrow {\rm{\Delta }}ACD$ cân

$\widehat {ADC} = \widehat {ACD}$

Mà $\widehat {ACD} = \widehat {BAC}$ (so le trong)

$ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ADC} \Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $\left( {ADC} \right)$

Tương tự, ta có $CD$ là tiếp tuyến của $\left( {ABC} \right)$

Ta có: $\widehat {AMN} = \widehat {NDC}$ (so le trong)

Mà \[\widehat {NDC} = \widehat {NAC}\] (\[ADCN\]nội tiếp)

$ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {NAC} \Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của $\left( {AMN} \right)$

Xét hai tam giác ${\rm{\Delta }}AKC$ và ${\rm{\Delta }}MAC$ có:

$\widehat {ACK}$ là góc chung

$\widehat {KMA} = \widehat {KAC}$ (vì $AC$ là tiếp tuyến của $\left( {AMN} \right)$)

$ \Rightarrow \widehat {AKC} = \widehat {MAC}$

Mà do $CA = CB$

$ \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC$ cân tại $C$

$ \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {ABC}$

Do đó, ta có $\widehat {AKC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {MAC}} \right)$

$ \Rightarrow ABKC$ nội tiếp (đpcm)

b) Gọi $S$ là giao điển của $BK$ và $\left( {AMN} \right)$

Ta có $\widehat {SAM} = \widehat {SKM}$

Mà $\widehat {SKM} = {180^ \circ } - \widehat {BKC} = \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}$

$ \Rightarrow \widehat {SAM} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}$

$ \Rightarrow \widehat {SAM} + \widehat {BAD} = {180^ \circ }$

$ \Rightarrow S,A,D$ thẳng hàng

Khi đó, ta có:

$\widehat {SDC} = \widehat {ACD} = \widehat {CAB} = \widehat {SKM}$

$ \Rightarrow \widehat {SDC} = \widehat {SKM}$

$ \Rightarrow $Tứ giác${\rm{\;}}SDCK{\rm{\;}}$nội tiếp

$I$ là giao điểm $AN$ và $SK$

Gọi $I'$ là giao điểm của $SK$ và $CD$

Khi đó, ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {NK{I^{\rm{'}}}} = \widehat {SAN}}\\{\widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DAN}}\\{\widehat {SAN} + \widehat {DAN} = {{180}^ \circ }}\end{array}} \right\} \Rightarrow \widehat {NK{I^{\rm{'}}}} + \widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = {180^ \circ }$

$ \Rightarrow NK{I^{\rm{'}}}C$ nội tiếp

Vì $NK{I^{\rm{'}}}C$ nội tiếp$ \Rightarrow \widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KN{I^{\rm{'}}}}$

Mà $\widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DSK}$ (do $SDCK$ nội tiếp)

Mà $\widehat {DSK} = \widehat {ASK} = \widehat {KNI}$

Từ đây suy ra: $\widehat {KN{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KNI} \Rightarrow I \equiv I'$

Do đó $I \in CD$, mà $CD$ cố định

Vậy $I$ thuộc đường thẳng $CD$ cố định khi $M$ thay đổi (đpcm)

Câu 6

a) Cho bảng ô vuông có kích thước $4 \times 4$ như sau

$a) Cho bảng ô vuông có kích thước $4 \times 4$ như sau (ảnh 1)$

Mỗi ô trong bảng này được viết một số nguyên dương sao cho $16$ số trên bảng đôi một khác nhau và trong mỗi hàng, mỗi cột luôn tổn tại một số bằng tổng của ba số còn lại tương ứng trong hàng, trong cột đó. Gọi $M$ là số lớn nhất trong bảng. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$.

b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương không nhỏ hơn $1$. Chứng minh:

$\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý