Cho biểu thức
\(Q = \left( {\frac{{10 - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - x - \sqrt x + 1}} + \frac{6}{{x - 1}}} \right):\frac{{4\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(Q\) .
b) Đặt \(P = Q.\left( {x - \sqrt x + 1} \right)\). Chứng minh rằng \(P > 1\)
Cho biểu thức
\(Q = \left( {\frac{{10 - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - x - \sqrt x + 1}} + \frac{6}{{x - 1}}} \right):\frac{{4\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(Q\) .
b) Đặt \(P = Q.\left( {x - \sqrt x + 1} \right)\). Chứng minh rằng \(P > 1\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4,x \ne 9\), ta có:
\(P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 9 + 9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{ - \sqrt x + x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\)
b)
\(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}}\) phải nhận giá trị là số nguyên\( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\}\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 4\) (loại)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow x = 49\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow x = 25\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x = - 1\) (loại)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow x = 16\)
Vậy \(x \in 1;16;25;49\} \) thì \(P\) nhận giá trị là số nguyên
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Gọi \(M\) là số lớn nhất trong \(16\) số trên bảng
Ta thấy tổng \(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của \(4\) số \(M,M - 1,M - 2,M - 3\)
Trong khi đó tổng của \(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng \(12\) số nguyên dương đầu tiên
Nên ta có \(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)
\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)
\( \Leftrightarrow M \ge 21\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(21\)
Xây dựng mô hình:
|
\(21\) |
\(11\) |
\(6\) |
\(4\) |
|
\(12\) |
\(20\) |
\(3\) |
\(5\) |
|
\(8\) |
\(2\) |
\(19\) |
\(9\) |
|
\(1\) |
\(7\) |
\(10\) |
\(18\) |
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)
Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)
Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 \)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có:
\(CA = CB\) mà \(CB = DA\) (\(ABCD\) là hình bình hành\()\)
\( \Rightarrow AC = AD \Rightarrow {\rm{\Delta }}ACD\) cân
\(\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\)
Mà \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ADC} \Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của \(\left( {ADC} \right)\)
Tương tự, ta có \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( {ABC} \right)\)
Ta có: \(\widehat {AMN} = \widehat {NDC}\) (so le trong)
Mà \[\widehat {NDC} = \widehat {NAC}\] (\[ADCN\]nội tiếp)
\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {NAC} \Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của \(\left( {AMN} \right)\)
Xét hai tam giác \({\rm{\Delta }}AKC\) và \({\rm{\Delta }}MAC\) có:
\(\widehat {ACK}\) là góc chung
\(\widehat {KMA} = \widehat {KAC}\) (vì \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( {AMN} \right)\))
\( \Rightarrow \widehat {AKC} = \widehat {MAC}\)
Mà do \(CA = CB\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {ABC}\)
Do đó, ta có \(\widehat {AKC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {MAC}} \right)\)
\( \Rightarrow ABKC\) nội tiếp (đpcm)
b) Gọi \(S\) là giao điển của \(BK\) và \(\left( {AMN} \right)\)
Ta có \(\widehat {SAM} = \widehat {SKM}\)
Mà \(\widehat {SKM} = {180^ \circ } - \widehat {BKC} = \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} + \widehat {BAD} = {180^ \circ }\)
\( \Rightarrow S,A,D\) thẳng hàng
Khi đó, ta có:
\(\widehat {SDC} = \widehat {ACD} = \widehat {CAB} = \widehat {SKM}\)
\( \Rightarrow \widehat {SDC} = \widehat {SKM}\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác\({\rm{\;}}SDCK{\rm{\;}}\)nội tiếp
\(I\) là giao điểm \(AN\) và \(SK\)
Gọi \(I'\) là giao điểm của \(SK\) và \(CD\)
Khi đó, ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {NK{I^{\rm{'}}}} = \widehat {SAN}}\\{\widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DAN}}\\{\widehat {SAN} + \widehat {DAN} = {{180}^ \circ }}\end{array}} \right\} \Rightarrow \widehat {NK{I^{\rm{'}}}} + \widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = {180^ \circ }\)
\( \Rightarrow NK{I^{\rm{'}}}C\) nội tiếp
Vì \(NK{I^{\rm{'}}}C\) nội tiếp\( \Rightarrow \widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KN{I^{\rm{'}}}}\)
Mà \(\widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DSK}\) (do \(SDCK\) nội tiếp)
Mà \(\widehat {DSK} = \widehat {ASK} = \widehat {KNI}\)
Từ đây suy ra: \(\widehat {KN{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KNI} \Rightarrow I \equiv I'\)
Do đó \(I \in CD\), mà \(CD\) cố định
Vậy \(I\) thuộc đường thẳng \(CD\) cố định khi \(M\) thay đổi (đpcm)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập