Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(CB = CA\). Gọi \(M\) là điểm bất kỳ trên tia đối của tia \(BA\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) cắt đường thẳng \(MD\) tại điểm  khác \(D)\), đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) căt đường thẳng \(MC\) tại điểm \(K(K\) khác \(M\)).

a) Chứng minh tứ giác \(ABKC\) nội tiếp

b) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BK\). Chứng minh \(I\) luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) thay đổi.

a) Gọi \(M\) là số lớn nhất trong \(16\) số trên bảng

Ta thấy tổng \(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của \(4\) số \(M,M - 1,M - 2,M - 3\)

Trong khi đó tổng của \(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng \(12\) số nguyên dương đầu tiên

Nên ta có \(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)

\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)

\( \Leftrightarrow M \ge 21\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(21\)

Xây dựng mô hình:

b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)

Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)

Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 \)

a) Điều kiện xác định: \({x^2} - x + 1 \ge 0\) (đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\))

\(2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - 2} \right) = 0{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {{x^2} - x + 1} = 2x - 1{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 2\)(nhận)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 4{x^2} - 4x + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 4{x^2} - 4x\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 4x\left( {x - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\) (nhận)

Vậy \(S = \left\{ {0,1;2} \right\}\)

b)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} - 4x + 3{y^2} + 9y = 0}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của \(\left( 2 \right)\) với \(3\) ta được:

\(3\left( {2{x^2} - 4x + 3y + 9y} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 12x + 9{y^2} + 27y = 0\)

lấy \(\left( 1 \right) - \left( 3 \right)\) ta được:

\({x^3} - {y^3} - 35 - 6{x^2} + 12x - 9{y^2} - 27y = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {y^3} - 9{y^2} - 27y - 27 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^{2.2}} + 3x{.2^2} - {2^3} - {y^3} - 3{y^{2.3}} - 3y{.3^2} - {3^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {y + 3} \right)^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {y + 3} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow x - 2 = y + 3\)

\( \Leftrightarrow x = y + 5\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 25\)

Thay \(x = y + 5\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:

\({\left( {y + 5} \right)^2} + y\left( {y + 5} \right) + {y^2} = 7\)

\( \Leftrightarrow {y^2} + 10y + 25 + {y^2} + 5y + {y^2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 3{y^2} + 15y + 18 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.\)

·          Với \(y = - 2\), ta có \(x = 3\)

·          Với \(y = - 3\), ta có \(x = 2\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {3; - 2} \right)\) và \(\left( {2; - 3} \right)\)