Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(CB = CA\). Gọi \(M\) là điểm bất kỳ trên tia đối của tia \(BA\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) cắt đường thẳng \(MD\) tại điểm  khác \(D)\), đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) căt đường thẳng \(MC\) tại điểm \(K(K\) khác \(M\)).

a) Chứng minh tứ giác \(ABKC\) nội tiếp

b) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BK\). Chứng minh \(I\) luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) thay đổi.

a)

\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 3x + xy - 2{y^2} + 3y - x + 2y - 3 = 2\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 2y + 3} \right) + y\left( {x - 2y + 3} \right) - \left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

Do đó ta có bốn trường hợp:

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 2}\\{x - 2y + 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 1}\\{x - 2y + 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 1}\\{x - 2y + 3 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 2}\\{x - 2y + 3 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Vậy cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên cần tìm là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 2;1} \right)\)

b) Gọi:

·          \(h\) là chiều cao bình chứa nước, \(r\) là bán kính mặt đáy

·          Hình 1: \({h_1} = 8\) là chiều cao phần không chứa nước, \({r_1}\) là bán kính đáy phần không chứa nước

·Hình \(2:{h_2}\) là chiều cao phần chứa nước, \({r_2}\) là bán kính đáy phần chứa nước (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} \in \mathbb{R}\)) và (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} > 0\))

\(\frac{{{h_1}}}{h} = \frac{{{r_1}}}{r} \Rightarrow {r_1} = \frac{{{h_1}.r}}{h} = \frac{{8r}}{h}\)

\(\frac{{{h_2}}}{h} = \frac{{{r_2}}}{r} \Rightarrow {r_2} = \frac{{{h_2}.r}}{h} = \frac{{\left( {h - 2} \right).r}}{h}\)

Thể tích phần chứa nước ở hình 2 là \({V_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_2^2{h_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\frac{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}.{r^2}}}{{{h^2}}}\)

Thế tích phần chứa nước ở hình 1 là \({V_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{{512{\rm{\pi }}{r^2}}}{{3{h^2}}}\)

\({V_1} = {V_2} \Leftrightarrow {h^3} - 512 = {\left( {h - 2} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = 1 + \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( N \right)}\\{h = 1 - \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy chiều cao của bình là \(1 + \sqrt {85} \)

a) Gọi \(M\) là số lớn nhất trong \(16\) số trên bảng

Ta thấy tổng \(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của \(4\) số \(M,M - 1,M - 2,M - 3\)

Trong khi đó tổng của \(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng \(12\) số nguyên dương đầu tiên

Nên ta có \(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)

\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)

\( \Leftrightarrow M \ge 21\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(21\)

Xây dựng mô hình:

b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)

Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)

Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 \)