a) Cho bảng ô vuông có kích thước \(4 \times 4\) như sau

 

Mỗi ô trong bảng này được viết một số nguyên dương sao cho \(16\) số trên bảng đôi một khác nhau và trong mỗi hàng, mỗi cột luôn tổn tại một số bằng tổng của ba số còn lại tương ứng trong hàng, trong cột đó. Gọi \(M\) là số lớn nhất trong bảng. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M\).

b) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương không nhỏ hơn \(1\). Chứng minh:

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\)

a)

\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 3x + xy - 2{y^2} + 3y - x + 2y - 3 = 2\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 2y + 3} \right) + y\left( {x - 2y + 3} \right) - \left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

Do đó ta có bốn trường hợp:

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 2}\\{x - 2y + 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 1}\\{x - 2y + 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 1}\\{x - 2y + 3 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 2}\\{x - 2y + 3 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Vậy cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên cần tìm là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 2;1} \right)\)

b) Gọi:

·          \(h\) là chiều cao bình chứa nước, \(r\) là bán kính mặt đáy

·          Hình 1: \({h_1} = 8\) là chiều cao phần không chứa nước, \({r_1}\) là bán kính đáy phần không chứa nước

·Hình \(2:{h_2}\) là chiều cao phần chứa nước, \({r_2}\) là bán kính đáy phần chứa nước (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} \in \mathbb{R}\)) và (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} > 0\))

\(\frac{{{h_1}}}{h} = \frac{{{r_1}}}{r} \Rightarrow {r_1} = \frac{{{h_1}.r}}{h} = \frac{{8r}}{h}\)

\(\frac{{{h_2}}}{h} = \frac{{{r_2}}}{r} \Rightarrow {r_2} = \frac{{{h_2}.r}}{h} = \frac{{\left( {h - 2} \right).r}}{h}\)

Thể tích phần chứa nước ở hình 2 là \({V_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_2^2{h_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\frac{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}.{r^2}}}{{{h^2}}}\)

Thế tích phần chứa nước ở hình 1 là \({V_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{{512{\rm{\pi }}{r^2}}}{{3{h^2}}}\)

\({V_1} = {V_2} \Leftrightarrow {h^3} - 512 = {\left( {h - 2} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = 1 + \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( N \right)}\\{h = 1 - \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy chiều cao của bình là \(1 + \sqrt {85} \)