a) Tìm tắt cả cặp sốnguyên \(\left( {x;y} \right)\) thoả mãn phương trình
\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0.\)
b) Một bình nước có dạng hình nó và mực nước trong bình cách đỉnh bình \(8{\rm{\;}}cm\) (minh họa như Hình 1). Khi đảo ngược bình lại thì phần không gian trớng của bình có chiều cao \(2{\rm{\;}}cm\) (minh họa như Hình 2). Tính chiều cao của bình.
a) Tìm tắt cả cặp sốnguyên \(\left( {x;y} \right)\) thoả mãn phương trình
\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0.\)
b) Một bình nước có dạng hình nó và mực nước trong bình cách đỉnh bình \(8{\rm{\;}}cm\) (minh họa như Hình 1). Khi đảo ngược bình lại thì phần không gian trớng của bình có chiều cao \(2{\rm{\;}}cm\) (minh họa như Hình 2). Tính chiều cao của bình.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)
\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 3x + xy - 2{y^2} + 3y - x + 2y - 3 = 2\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 2y + 3} \right) + y\left( {x - 2y + 3} \right) - \left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)
Do đó ta có bốn trường hợp:
Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 2}\\{x - 2y + 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)
Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 1}\\{x - 2y + 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)
Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 1}\\{x - 2y + 3 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)
Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 2}\\{x - 2y + 3 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)
Vậy cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên cần tìm là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 2;1} \right)\)
b) Gọi:
· \(h\) là chiều cao bình chứa nước, \(r\) là bán kính mặt đáy
· Hình 1: \({h_1} = 8\) là chiều cao phần không chứa nước, \({r_1}\) là bán kính đáy phần không chứa nước
·Hình \(2:{h_2}\) là chiều cao phần chứa nước, \({r_2}\) là bán kính đáy phần chứa nước (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} \in \mathbb{R}\)) và (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} > 0\))
\(\frac{{{h_1}}}{h} = \frac{{{r_1}}}{r} \Rightarrow {r_1} = \frac{{{h_1}.r}}{h} = \frac{{8r}}{h}\)
\(\frac{{{h_2}}}{h} = \frac{{{r_2}}}{r} \Rightarrow {r_2} = \frac{{{h_2}.r}}{h} = \frac{{\left( {h - 2} \right).r}}{h}\)
Thể tích phần chứa nước ở hình 2 là \({V_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_2^2{h_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\frac{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}.{r^2}}}{{{h^2}}}\)
Thế tích phần chứa nước ở hình 1 là \({V_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{{512{\rm{\pi }}{r^2}}}{{3{h^2}}}\)
\({V_1} = {V_2} \Leftrightarrow {h^3} - 512 = {\left( {h - 2} \right)^3}\)
\( \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = 1 + \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( N \right)}\\{h = 1 - \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy chiều cao của bình là \(1 + \sqrt {85} \)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có:
\(CA = CB\) mà \(CB = DA\) (\(ABCD\) là hình bình hành\()\)
\( \Rightarrow AC = AD \Rightarrow {\rm{\Delta }}ACD\) cân
\(\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\)
Mà \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ADC} \Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của \(\left( {ADC} \right)\)
Tương tự, ta có \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( {ABC} \right)\)
Ta có: \(\widehat {AMN} = \widehat {NDC}\) (so le trong)
Mà \[\widehat {NDC} = \widehat {NAC}\] (\[ADCN\]nội tiếp)
\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {NAC} \Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của \(\left( {AMN} \right)\)
Xét hai tam giác \({\rm{\Delta }}AKC\) và \({\rm{\Delta }}MAC\) có:
\(\widehat {ACK}\) là góc chung
\(\widehat {KMA} = \widehat {KAC}\) (vì \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( {AMN} \right)\))
\( \Rightarrow \widehat {AKC} = \widehat {MAC}\)
Mà do \(CA = CB\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {ABC}\)
Do đó, ta có \(\widehat {AKC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {MAC}} \right)\)
\( \Rightarrow ABKC\) nội tiếp (đpcm)
b) Gọi \(S\) là giao điển của \(BK\) và \(\left( {AMN} \right)\)
Ta có \(\widehat {SAM} = \widehat {SKM}\)
Mà \(\widehat {SKM} = {180^ \circ } - \widehat {BKC} = \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} + \widehat {BAD} = {180^ \circ }\)
\( \Rightarrow S,A,D\) thẳng hàng
Khi đó, ta có:
\(\widehat {SDC} = \widehat {ACD} = \widehat {CAB} = \widehat {SKM}\)
\( \Rightarrow \widehat {SDC} = \widehat {SKM}\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác\({\rm{\;}}SDCK{\rm{\;}}\)nội tiếp
\(I\) là giao điểm \(AN\) và \(SK\)
Gọi \(I'\) là giao điểm của \(SK\) và \(CD\)
Khi đó, ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {NK{I^{\rm{'}}}} = \widehat {SAN}}\\{\widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DAN}}\\{\widehat {SAN} + \widehat {DAN} = {{180}^ \circ }}\end{array}} \right\} \Rightarrow \widehat {NK{I^{\rm{'}}}} + \widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = {180^ \circ }\)
\( \Rightarrow NK{I^{\rm{'}}}C\) nội tiếp
Vì \(NK{I^{\rm{'}}}C\) nội tiếp\( \Rightarrow \widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KN{I^{\rm{'}}}}\)
Mà \(\widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DSK}\) (do \(SDCK\) nội tiếp)
Mà \(\widehat {DSK} = \widehat {ASK} = \widehat {KNI}\)
Từ đây suy ra: \(\widehat {KN{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KNI} \Rightarrow I \equiv I'\)
Do đó \(I \in CD\), mà \(CD\) cố định
Vậy \(I\) thuộc đường thẳng \(CD\) cố định khi \(M\) thay đổi (đpcm)
Lời giải
a) Gọi \(M\) là số lớn nhất trong \(16\) số trên bảng
Ta thấy tổng \(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của \(4\) số \(M,M - 1,M - 2,M - 3\)
Trong khi đó tổng của \(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng \(12\) số nguyên dương đầu tiên
Nên ta có \(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)
\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)
\( \Leftrightarrow M \ge 21\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(21\)
Xây dựng mô hình:
|
\(21\) |
\(11\) |
\(6\) |
\(4\) |
|
\(12\) |
\(20\) |
\(3\) |
\(5\) |
|
\(8\) |
\(2\) |
\(19\) |
\(9\) |
|
\(1\) |
\(7\) |
\(10\) |
\(18\) |
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)
Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)
Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập