Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - 4m + 5\) (\(m\) là tham số) và parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho ba điểm \(O,A,B\) tạo thành tam giác vuông tại \(O\).

a)

\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 3x + xy - 2{y^2} + 3y - x + 2y - 3 = 2\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 2y + 3} \right) + y\left( {x - 2y + 3} \right) - \left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

Do đó ta có bốn trường hợp:

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 2}\\{x - 2y + 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 1}\\{x - 2y + 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 1}\\{x - 2y + 3 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 2}\\{x - 2y + 3 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Vậy cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên cần tìm là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 2;1} \right)\)

b) Gọi:

·          \(h\) là chiều cao bình chứa nước, \(r\) là bán kính mặt đáy

·          Hình 1: \({h_1} = 8\) là chiều cao phần không chứa nước, \({r_1}\) là bán kính đáy phần không chứa nước

·Hình \(2:{h_2}\) là chiều cao phần chứa nước, \({r_2}\) là bán kính đáy phần chứa nước (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} \in \mathbb{R}\)) và (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} > 0\))

\(\frac{{{h_1}}}{h} = \frac{{{r_1}}}{r} \Rightarrow {r_1} = \frac{{{h_1}.r}}{h} = \frac{{8r}}{h}\)

\(\frac{{{h_2}}}{h} = \frac{{{r_2}}}{r} \Rightarrow {r_2} = \frac{{{h_2}.r}}{h} = \frac{{\left( {h - 2} \right).r}}{h}\)

Thể tích phần chứa nước ở hình 2 là \({V_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_2^2{h_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\frac{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}.{r^2}}}{{{h^2}}}\)

Thế tích phần chứa nước ở hình 1 là \({V_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{{512{\rm{\pi }}{r^2}}}{{3{h^2}}}\)

\({V_1} = {V_2} \Leftrightarrow {h^3} - 512 = {\left( {h - 2} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = 1 + \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( N \right)}\\{h = 1 - \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy chiều cao của bình là \(1 + \sqrt {85} \)