Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) \(2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} + 3{y^2} - 4x + 9y = 0}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) \(2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} + 3{y^2} - 4x + 9y = 0}\end{array}} \right.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Điều kiện xác định: \({x^2} - x + 1 \ge 0\) (đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\))
\(2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - 2} \right) = 0{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {{x^2} - x + 1} = 2x - 1{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 2\)(nhận)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 4{x^2} - 4x + 1\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 4{x^2} - 4x\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 4x\left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\) (nhận)
Vậy \(S = \left\{ {0,1;2} \right\}\)
b)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} - 4x + 3{y^2} + 9y = 0}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế của \(\left( 2 \right)\) với \(3\) ta được:
\(3\left( {2{x^2} - 4x + 3y + 9y} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 12x + 9{y^2} + 27y = 0\)
lấy \(\left( 1 \right) - \left( 3 \right)\) ta được:
\({x^3} - {y^3} - 35 - 6{x^2} + 12x - 9{y^2} - 27y = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {y^3} - 9{y^2} - 27y - 27 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^{2.2}} + 3x{.2^2} - {2^3} - {y^3} - 3{y^{2.3}} - 3y{.3^2} - {3^3} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {y + 3} \right)^3} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {y + 3} \right)^3}\)
\( \Leftrightarrow x - 2 = y + 3\)
\( \Leftrightarrow x = y + 5\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 25\)
Thay \(x = y + 5\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:
\({\left( {y + 5} \right)^2} + y\left( {y + 5} \right) + {y^2} = 7\)
\( \Leftrightarrow {y^2} + 10y + 25 + {y^2} + 5y + {y^2} = 7\)
\( \Leftrightarrow 3{y^2} + 15y + 18 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.\)
· Với \(y = - 2\), ta có \(x = 3\)
· Với \(y = - 3\), ta có \(x = 2\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {3; - 2} \right)\) và \(\left( {2; - 3} \right)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Gọi \(M\) là số lớn nhất trong \(16\) số trên bảng
Ta thấy tổng \(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của \(4\) số \(M,M - 1,M - 2,M - 3\)
Trong khi đó tổng của \(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng \(12\) số nguyên dương đầu tiên
Nên ta có \(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)
\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)
\( \Leftrightarrow M \ge 21\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(21\)
Xây dựng mô hình:
|
\(21\) |
\(11\) |
\(6\) |
\(4\) |
|
\(12\) |
\(20\) |
\(3\) |
\(5\) |
|
\(8\) |
\(2\) |
\(19\) |
\(9\) |
|
\(1\) |
\(7\) |
\(10\) |
\(18\) |
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)
Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)
Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 \)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có:
\(CA = CB\) mà \(CB = DA\) (\(ABCD\) là hình bình hành\()\)
\( \Rightarrow AC = AD \Rightarrow {\rm{\Delta }}ACD\) cân
\(\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\)
Mà \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ADC} \Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của \(\left( {ADC} \right)\)
Tương tự, ta có \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( {ABC} \right)\)
Ta có: \(\widehat {AMN} = \widehat {NDC}\) (so le trong)
Mà \[\widehat {NDC} = \widehat {NAC}\] (\[ADCN\]nội tiếp)
\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {NAC} \Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của \(\left( {AMN} \right)\)
Xét hai tam giác \({\rm{\Delta }}AKC\) và \({\rm{\Delta }}MAC\) có:
\(\widehat {ACK}\) là góc chung
\(\widehat {KMA} = \widehat {KAC}\) (vì \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( {AMN} \right)\))
\( \Rightarrow \widehat {AKC} = \widehat {MAC}\)
Mà do \(CA = CB\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {ABC}\)
Do đó, ta có \(\widehat {AKC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {MAC}} \right)\)
\( \Rightarrow ABKC\) nội tiếp (đpcm)
b) Gọi \(S\) là giao điển của \(BK\) và \(\left( {AMN} \right)\)
Ta có \(\widehat {SAM} = \widehat {SKM}\)
Mà \(\widehat {SKM} = {180^ \circ } - \widehat {BKC} = \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} + \widehat {BAD} = {180^ \circ }\)
\( \Rightarrow S,A,D\) thẳng hàng
Khi đó, ta có:
\(\widehat {SDC} = \widehat {ACD} = \widehat {CAB} = \widehat {SKM}\)
\( \Rightarrow \widehat {SDC} = \widehat {SKM}\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác\({\rm{\;}}SDCK{\rm{\;}}\)nội tiếp
\(I\) là giao điểm \(AN\) và \(SK\)
Gọi \(I'\) là giao điểm của \(SK\) và \(CD\)
Khi đó, ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {NK{I^{\rm{'}}}} = \widehat {SAN}}\\{\widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DAN}}\\{\widehat {SAN} + \widehat {DAN} = {{180}^ \circ }}\end{array}} \right\} \Rightarrow \widehat {NK{I^{\rm{'}}}} + \widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = {180^ \circ }\)
\( \Rightarrow NK{I^{\rm{'}}}C\) nội tiếp
Vì \(NK{I^{\rm{'}}}C\) nội tiếp\( \Rightarrow \widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KN{I^{\rm{'}}}}\)
Mà \(\widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DSK}\) (do \(SDCK\) nội tiếp)
Mà \(\widehat {DSK} = \widehat {ASK} = \widehat {KNI}\)
Từ đây suy ra: \(\widehat {KN{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KNI} \Rightarrow I \equiv I'\)
Do đó \(I \in CD\), mà \(CD\) cố định
Vậy \(I\) thuộc đường thẳng \(CD\) cố định khi \(M\) thay đổi (đpcm)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập