Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Tiền Hải_Tỉnh Thái Bình

1) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 9,\) ta có:

\(P = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}} + \frac{{ - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}\)

 \[ = \frac{{2\sqrt a \cdot \left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} + \frac{{ - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}\]

 \[ = \frac{{2a - 6\sqrt a + a + 3\sqrt a + \sqrt a + 3 - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}\]

 \( = \frac{{3a - 9\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt a \left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}.\)

Vậy với \(a \ge 0,\,\,a \ne 9\) thì \(P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}.\)

Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 9,\) ta có: \(P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} = \frac{{3\left( {\sqrt a + 3} \right) - 9}}{{\sqrt a + 3}} = 3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}}.\)

Vì \(a \ge 0\) nên \(\sqrt a \ge 0,\,\,3\sqrt a \ge 0\) và \(\sqrt a + 3 \ge 3 > 0,\) suy ra \(\frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} \ge 0\) nên \(P \ge 0.\) (1)

Ta có \( - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} < 0\) nên \(3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} < 3\) suy ra \(P < 3.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(0 \le P < 3.\)

Mà \(P\) có giá trị nguyên suy ra \(P \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}.\)

⦁ \(P = 0\) tức là \(3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 0\) suy ra \(\frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 3,\) do đó \(\sqrt a + 3 = 3,\) nên \(a = 0;\)

⦁ \(P = 1\) tức là \(3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 1\) suy ra \(\frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 2,\) do đó \(\sqrt a + 3 = \frac{9}{2}\) nên \(a = \frac{9}{4};\)

⦁ \(P = 2\) tức là \(3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 2\) suy ra \(\frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 1,\) do đó \(\sqrt a + 3 = 9\) nên \(a = 36.\)

Kết hợp điều kiện xác định \(a \ge 0,\,\,a \ne 9\) suy ra \(a = \left\{ {0;\,\,\frac{9}{4};\,\,36} \right\}.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + y = 11}\\{2x + 3y = 7}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{15x + 3y = 33}\\{2x + 3y = 7}\end{array}} \right..\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

\[13x = 26,\] suy ra \[x = 2.\]

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(5x + y = 11,\) ta được:

\(5 \cdot 2 + y = 11,\) suy ra \(y = 1\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,1} \right).\)

Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\, \ldots ;\,\,40} \right\}.\) Không gian mẫu có 40 phần tử.

Gọi \[A\] là biến cố lấy được thẻ ghi số chia hết cho 6.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(6;\,\,12;\,\,18;\,\,24;\,\,30;\,\,36.\)

Vậy xác suất biến cố \[A\] là: \(P\left( A \right) = \frac{6}{{40}} = 0,15.\)

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình (*), ta được:

\({x^2} - \left( {1 + 5} \right)x + 3 \cdot 1 + 6 = 0\)

\({x^2} - 6x + 9 = 0\)

\({\left( {x - 3} \right)^2} = 0\)

\(x - 3 = 0\)

\(x = 3.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình (*) có nghiệm \(x = 3.\)

b) Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\) (*) có \(a = 1 \ne 0;\,\,b = - \left( {m + 5} \right);\,\,c = 3m + 6.\)

Ta có\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3m + 6} \right)\]

\[ = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\]\[ = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(m.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0,\) tức là \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\) suy ra \({\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0\) hay \(m - 1 \ne 0\) nên \(m \ne 1\).

Áp dụng định lí Viète ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 6}\end{array}} \right..\)

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên \({x_1} > 0,\,\,{x_2} > 0.\) Suy ra \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0.\)

Khi đó, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 5 > 0}\\{3m + 6 > 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.\) nên \(m > - 2.\)

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5 nên ta áp dụng định lí Pythagore, có:

\(x_1^2 + x_2^2 = {5^2}\)

\(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 25\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\)

\({\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {3m + 6} \right) = 25\)

\({m^2} + 10m + 25 - 6m - 12 = 25\)

\({m^2} + 4m - 12 = 0\)

\({m^2} + 6m - 2m - 12 = 0\)

\(m\left( {m + 6} \right) - 2\left( {m + 6} \right) = 0\)

\(\left( {m + 6} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(m + 6 = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m = - 6\) hoặc \(m = 2.\)

Kết hợp điều kiện \(m > - 2\) suy ra \(m = 2.\)

Vậy \(m = 2\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.