(0,5 điểm) Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {\left( {{z^2} + 5} \right)} }}.\)

Vì \(AD \bot BC,\,\,BE \bot AC\) nên: \(\widehat {HDC} = 90^\circ ,\) \(\widehat {HEC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta DHC\) vuông tại \[D\] nên ba điểm \[D,\,\,H,\,\,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HC.\)

Xét \(\Delta EHC\) vuông tại \[E\] nên ba điểm \[E,\,\,H,\,\,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HC.\)

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình (*), ta được:

\({x^2} - \left( {1 + 5} \right)x + 3 \cdot 1 + 6 = 0\)

\({x^2} - 6x + 9 = 0\)

\({\left( {x - 3} \right)^2} = 0\)

\(x - 3 = 0\)

\(x = 3.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình (*) có nghiệm \(x = 3.\)

b) Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\) (*) có \(a = 1 \ne 0;\,\,b = - \left( {m + 5} \right);\,\,c = 3m + 6.\)

Ta có\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3m + 6} \right)\]

\[ = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\]\[ = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(m.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0,\) tức là \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\) suy ra \({\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0\) hay \(m - 1 \ne 0\) nên \(m \ne 1\).

Áp dụng định lí Viète ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 6}\end{array}} \right..\)

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên \({x_1} > 0,\,\,{x_2} > 0.\) Suy ra \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0.\)

Khi đó, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 5 > 0}\\{3m + 6 > 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.\) nên \(m > - 2.\)

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5 nên ta áp dụng định lí Pythagore, có:

\(x_1^2 + x_2^2 = {5^2}\)

\(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 25\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\)

\({\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {3m + 6} \right) = 25\)

\({m^2} + 10m + 25 - 6m - 12 = 25\)

\({m^2} + 4m - 12 = 0\)

\({m^2} + 6m - 2m - 12 = 0\)

\(m\left( {m + 6} \right) - 2\left( {m + 6} \right) = 0\)

\(\left( {m + 6} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(m + 6 = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m = - 6\) hoặc \(m = 2.\)

Kết hợp điều kiện \(m > - 2\) suy ra \(m = 2.\)

Vậy \(m = 2\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.