Câu hỏi:
12/03/2025 112
(0,5 điểm) Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {\left( {{z^2} + 5} \right)} }}.\)
(0,5 điểm) Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {\left( {{z^2} + 5} \right)} }}.\)
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\)
\( = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }}\)
\( = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}.\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {x + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2x + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right).\)
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2y + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right).\)
\[\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {z + x + y + z} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right).\]
Suy ra \(P \ge \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right)}} = \frac{{2\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{{9x + 9y + 6z}} = \frac{2}{3}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}z + x = y + z\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\xy + yz + zx = 5\end{array} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{2x = z}\\{xy + yz + zx = 5}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\) (do \(x,y,z\) là các số thực dương).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \(\frac{2}{3}\) khi \(x = y = 1,\,\,z = 2.\)
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + y = 11}\\{2x + 3y = 7}\end{array}} \right.\).
Xem đáp án »
12/03/2025
198
Câu 4:
1) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\quad \left( * \right)\) \[(m\] là tham số).
a) Giải phương trình (*) với \(m = 1.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.
Xem đáp án »
12/03/2025
159
Câu 6:
2) Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp chứa 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40 (mỗi thẻ chỉ được ghi một số). Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số chia hết cho 6.
Xem đáp án »
11/03/2025
0
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận