Câu hỏi:
12/03/2025 132
(0,5 điểm) Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {\left( {{z^2} + 5} \right)} }}.\)
(0,5 điểm) Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {\left( {{z^2} + 5} \right)} }}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\)
\( = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }}\)
\( = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}.\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {x + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2x + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right).\)
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2y + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right).\)
\[\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {z + x + y + z} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right).\]
Suy ra \(P \ge \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right)}} = \frac{{2\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{{9x + 9y + 6z}} = \frac{2}{3}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}z + x = y + z\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\xy + yz + zx = 5\end{array} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{2x = z}\\{xy + yz + zx = 5}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\) (do \(x,y,z\) là các số thực dương).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \(\frac{2}{3}\) khi \(x = y = 1,\,\,z = 2.\)
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + y = 11}\\{2x + 3y = 7}\end{array}} \right.\).
Xem đáp án »
12/03/2025
226
Câu 4:
1) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\quad \left( * \right)\) \[(m\] là tham số).
a) Giải phương trình (*) với \(m = 1.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.
Xem đáp án »
12/03/2025
219
Câu 6:
2) Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp chứa 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40 (mỗi thẻ chỉ được ghi một số). Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số chia hết cho 6.
Xem đáp án »
11/03/2025
0
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận