Câu hỏi:

12/03/2025 191

(0,5 điểm) Với $x,\,\,y,\,\,z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $xy + yz + zx = 5.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {\left( {{z^2} + 5} \right)} }}.$

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Tiền Hải_Tỉnh Thái Bình !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}$

$ = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }}$

$ = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}.$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

$\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {x + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2x + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right).$

$\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {3\left( {x + y} \right) \cdot 2\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {3x + 3y + 2y + 2z} \right) = \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right).$

\[\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {z + x + y + z} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right).\]

Suy ra $P \ge \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\frac{1}{2}\left( {5x + 3y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {3x + 5y + 2z} \right) + \frac{1}{2}\left( {x + y + 2z} \right)}} = \frac{{2\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{{9x + 9y + 6z}} = \frac{2}{3}.$

Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}z + x = y + z\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\xy + yz + zx = 5\end{array} \right.\] hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{2x = z}\\{xy + yz + zx = 5}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.$ (do $x,y,z$ là các số thực dương).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ bằng $\frac{2}{3}$ khi $x = y = 1,\,\,z = 2.$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1) Chứng minh rằng tứ giác \[DHEC\] nội tiếp.

Xem đáp án

Lời giải

$1) Chứng minh rằng tứ giác \[DHEC\] nội tiếp. (ảnh 1)$

Vì $AD \bot BC,\,\,BE \bot AC$ nên: $\widehat {HDC} = 90^\circ ,$ $\widehat {HEC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta DHC$ vuông tại \[D\] nên ba điểm \[D,\,\,H,\,\,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính $HC.$

Xét $\Delta EHC$ vuông tại \[E\] nên ba điểm \[E,\,\,H,\,\,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính $HC.$

Suy ra bốn điểm \[D,\,\,H,\,\,E,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC,\] do đó tứ giác \[DHEC\] nội tiếp.

Câu 2

1) Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\quad \left( * \right)$ \[(m\] là tham số).

a) Giải phương trình () với $m = 1.$

b) Tìm $m$ để phương trình () có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay $m = 1$ vào phương trình (*), ta được:

${x^2} - \left( {1 + 5} \right)x + 3 \cdot 1 + 6 = 0$

${x^2} - 6x + 9 = 0$

${\left( {x - 3} \right)^2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3.$

Vậy với $m = 1$ thì phương trình (*) có nghiệm $x = 3.$

b) Xét phương trình ${x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0$ (*) có $a = 1 \ne 0;\,\,b = - \left( {m + 5} \right);\,\,c = 3m + 6.$

Ta có\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3m + 6} \right)\]

\[ = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\]\[ = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi $m.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0,$ tức là ${\left( {m - 1} \right)^2} > 0,$ suy ra ${\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0$ hay $m - 1 \ne 0$ nên $m \ne 1$.

Áp dụng định lí Viète ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 6}\end{array}} \right..$

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên ${x_1} > 0,\,\,{x_2} > 0.$ Suy ra ${x_1} + {x_2} > 0$ và ${x_1}{x_2} > 0.$

Khi đó, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 5 > 0}\\{3m + 6 > 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.$ nên $m > - 2.$

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5 nên ta áp dụng định lí Pythagore, có:

$x_1^2 + x_2^2 = {5^2}$

$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 25$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25$

${\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {3m + 6} \right) = 25$

${m^2} + 10m + 25 - 6m - 12 = 25$

${m^2} + 4m - 12 = 0$

${m^2} + 6m - 2m - 12 = 0$

$m\left( {m + 6} \right) - 2\left( {m + 6} \right) = 0$

$\left( {m + 6} \right)\left( {m - 2} \right) = 0$

$m + 6 = 0$ hoặc $m - 2 = 0$

$m = - 6$ hoặc $m = 2.$