Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội

Tần số ghép nhóm của nhóm \(\left[ {40;\,\,42} \right)\) là 5.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {40;\,\,42} \right)\) là: \(f = \frac{5}{{40}} \cdot 100\% = 12,5\% .\)

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”.

Số kết quả xảy ra của phép thử là: \(n\left( \Omega \right) = 12.\)

Xét biến cố \[M:\] “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”.

Ta có các kết quả thuận lợi để biến cố \[M\] xảy ra là: \[4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}12.\]

Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố \(M\).

Suy ra xác suất của biến cố \[M\] là \(P\left( M \right) = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}.\)

Thay \(x = 9\) (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\], ta được: \(A = \frac{{9 - 4}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}.\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = \frac{5}{3}.\)

Với \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\), ta có:

\(B = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}} = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{x - 4}}\)

   \( = \frac{{3\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {2\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x + 6 - 2\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)

Vậy với \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)

Với \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\), ta có:

⦁ \(P = AB = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x }} > 0.\) Do đó \(P > 0.\)

⦁ \[1 - P = 1 - \left( {1 + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right) = 1 - 1 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - \frac{3}{{\sqrt x }} < 0\]. Do đó \(1 - P < 0\).

Suy ra \(P\left( {1 - P} \right) < 0\) hay \(P - {P^2} < 0\) nên \(P < {P^2}.\)

Vậy \(P < {P^2}.\)

Cách 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất của Bác Tiến là \(x\) (triệu đồng) \(\left( {0 \le x \le 400} \right).\)

Số tiền ở khoản đầu tư thứ hai là: \(400 - x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ nhất là: \(6\% x = 0,06x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ hai là: \(8\% \left( {400 - x} \right) = 32 - 0,08x\) (triệu đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi bác Tiến nhận được là 27 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(0,06x + 32 - 0,08x = 27\).

Giải phương trình:

\(0,06x + 32 - 0,08x = 27\)

\( - 0,02x = 27 - 32\)

\( - 0,02x = - 5\)

\(x = 250\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất là 250 triệu đồng và ở khoản đầu tư thứ hai là \(400 - 250 = 150\) (triệu đồng).

Cách 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất và thứ hai của Bác Tiến lần lượt là \(x\) và \(y\) (triệu đồng) \(\left( {0 \le x \le 400,\,\,0 \le y \le 400} \right).\)

Theo bài, tổng số tiền đầu tư của bác Tiến là 400 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(x + y = 400\) (1)

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ nhất là: \(6\% x = 0,06x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ hai là: \(8\% y = 0,08y\) (triệu đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi bác Tiến nhận được là 27 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(0,06x + 0,08y = 27\) (2)

Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 400\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0,06x + 0,08y = 27\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1) ta có: \(y = 400 - x\) (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: \(0,06x + 0,08\left( {400 - x} \right) = 27.\) (4)

Giải phương trình (4):

\(0,06x + 0,08\left( {400 - x} \right) = 27\)

\(0,06x + 32 - 0,08x = 27\)

\( - 0,02x = 27 - 32\)

\( - 0,02x = - 5\)

\(x = 250\) (thoả mãn điều kiện).

Thay giá trị \(x = 250\) vào phương trình (3) ta được: \(y = 400 - 250 = 150\)(thoả mãn điều kiện).

Vậy số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất là 250 triệu đồng và ở khoản đầu tư thứ hai là 150 triệu đồng.