Câu hỏi:
12/03/2025 376
Câu 11-13 ( 3 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(MN\) vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(C\) khác điểm \(M.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(BC.\)
a) Chứng minh bốn điểm \(O,\,\,M,\,\,H,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn.
Câu 11-13 ( 3 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(MN\) vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(C\) khác điểm \(M.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(BC.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Cách 1: Ta có \(MN \bot AB\) tại \[O\] nên \(\Delta MOB\) vuông tại \[O\], suy ra ba điểm \[M,{\rm{ }}O,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].
Ta có \(MH \bot CB\) tại \[H\] nên \(\Delta MHB\) vuông tại \[H,\]suy ra ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].
Do đó bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].
Cách 2: Gọi \[I\] là trung điểm của \[MB\].
Ta có \(MN \bot AB\) tại \[O\] nên \(\Delta MOB\) vuông tại \[O,\] lại có \[OI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MB\) nên \(IO = IM = IB = \frac{1}{2}MB.\)Ta có \(MH \bot CB\) tại \[H\] nên \(\Delta MHB\) vuông tại \[H,\] lại có \[HI\] là đường trung tuyến với cạnh huyền \(MB\) nên \(IH = IM = IB = \frac{1}{2}MB.\)
Vậy \(IO = IM = IH = IB\) nên bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn tâm \[I,\] đường kính \(MB.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
b) Hai đường thẳng \(MB\) và \(OH\) cắt nhau tại \(E.\) Chứng minh \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}\) và \(ME \cdot MH = BE \cdot HC.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Chứng minh \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}\)
Xét đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] có \(\widehat {MHO} = \widehat {MBO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MO).\]
Xét đường tròn tâm \[O\] có: \(\widehat {MBA} = \widehat {MNA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MA)\] hay \(\widehat {MBO} = \widehat {MNA}\)
Do đó: \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}.\)
⦁ Chứng minh \(ME \cdot MH = BE \cdot HC\)
Xét đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] có \(\widehat {BMO} = \widehat {BHO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[OB)\]
Tam giác \[MBO\] cân tại \[O\] (do \(OM = OB)\) nên \(\widehat {BMO} = \widehat {MBO}\).
Lại có \(\widehat {MHO} = \widehat {MBO}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {MHO} = \widehat {BHO}\) nên \[HO\] là tia phân giác của \(\widehat {MHB}\) hay \[ME\] là tia phân giác của \(\widehat {MHB}.\)
Xét \(\Delta MHB\) có \[ME\] là tia phân giác của \(\widehat {MHB}\) nên \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MH}}{{BH}}\) (1)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) là đường kính và \(M \in \left( O \right)\) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó \(\widehat {CMB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HMC} + \widehat {HMB} = 90^\circ .\)
Mặt khác, \(\Delta MHB\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HMB} + \widehat {HBM} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông).
Suy ra \(\widehat {HMC} = \widehat {HBM}.\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BHM\) có: \(\widehat {HMC} = \widehat {BHM} = 90^\circ \) và \(\widehat {HMC} = \widehat {HBM}\)
Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{HC}}{{HM}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{MH}}{{BH}}} \right)\) hay \(ME \cdot MH = BE \cdot HC\).
Câu 3:
c) Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MHC.\) Chứng minh ba điểm \(C,\,\,P,\,\,E\) là ba điểm thẳng hàng.
Lời giải của GV VietJack
⦁ Tam giác \[MHC\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}C\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MC.\]
Mà \[P\] thuộc đường tròn đó nên \(\widehat {MPC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Mặt khác, \[P\] thuộc đường tròn tâm \[O,\] đường kính \[MN\] nên \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vậy \(\widehat {MPN} + \widehat {MPC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \[C,{\rm{ }}P,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (3)
⦁ Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BMC\) có:
\(\widehat {MHC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) và \(\widehat {MCB}\) là góc chung
Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{MH}}{{BM}} = \frac{{HC}}{{MC}}\) hay \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\).
Tam giác \[BMN\]có \[BO\] là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \[\Delta BMN\] cân tại \[B\], suy ra \(BM = BN.\)
Do đó từ \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\) ta có \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BN}}\)
Theo câu b ta có: \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\) nên \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}\).
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(MN\) có \(B \in \left( O \right)\) nên \(\widehat {NBM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {NBE} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta MCE\) và \(\Delta BNE\) có: \(\widehat {CME} = \widehat {NBE} = 90^\circ \) và \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}\)
Do đó (g.g), suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {BEN}\) (hai góc tương ứng).
Ta có: \(\widehat {BEN} + \widehat {CEB} = \widehat {MEC} + \widehat {CEB} = \widehat {MEB} = 180^\circ \) nên ba điểm \[C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (4)
Từ (3) và (4) ta có bốn điểm \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E;{\rm{ }}N\] thẳng hàng hay \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E\] thẳng hàng.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Tần số ghép nhóm của nhóm \(\left[ {40;\,\,42} \right)\) là 5.
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {40;\,\,42} \right)\) là: \(f = \frac{5}{{40}} \cdot 100\% = 12,5\% .\)
Lời giải
a) Bán kính đáy của lý nước có dạng hình trụ đó là: \(\frac{5}{2} = 2,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly bằng thể tích của hình trụ có chiều cao \(10\) cm, và bằng:
\({V_1} = \pi \cdot {\left( {2,5} \right)^2} \cdot 10 = 62,5\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Phú Thọ
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi thử TS vào 10 (Lần 2 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Hoằng Thanh_Tỉnh Thanh Hóa