(0,5 điểm) Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).

 

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn \(AD\) trên tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) (hình 1) nên \(MA = MD = \frac{1}{2}AD = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Kẻ đường cao \(MH\) \(\left( {H \in AD} \right)\) của tam giác \(AMD.\) Khi đó đường cao \(MH\) của \(\Delta AMD\) cân tại \(M\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(H\) là trung điểm của \(AD,\) do đó \(HD = \frac{{AD}}{2} = \frac{x}{2}\) \[\left( {0 < x < 6} \right).\]

Xét \(\Delta MHD\) vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore, ta có: \(M{D^2} = M{H^2} + H{D^2}\)

Suy ra \[MH = \sqrt {M{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Diện tích \(\Delta AMD\) là: \({S_{\Delta AMD}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2} = \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{4}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Thể tích hình lăng trụ đứng tam giác \[AMD.BNC\] là:

\(V = {S_{\Delta AMD}} \cdot MN = \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{4} \cdot 10 = \frac{5}{2}x\sqrt {36 - {x^2}} {\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Đặt \[P = \frac{5}{2}x\sqrt {36 - {x^2}} ,\] suy ra \[{P^2} = \frac{{25}}{4}{x^2}\left( {36 - {x^2}} \right)\mathop \le \limits^{BDT\,\,Cauchuy} \frac{{25}}{4} \cdot {\left( {\frac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2}} \right)^2} = 2025.\]

Suy ra \(P \le 45\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 36 - {x^2}\) hay \(2{x^2} = 36\) nên \({x^2} = 18\), tức là \(x = 3\sqrt 2 \) (do \[0 < x < 6).\]

Vậy để thể tích không gian trong lều lớn nhất thì độ dài đoạn \(AD = 3\sqrt 2 \) (m).