Câu hỏi:

12/03/2025 329

Câu 11-13 ( 3 điểm) Cho đường tròn $\left( O \right)$ có hai đường kính $AB$ và $MN$ vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $C$ khác điểm $M.$ Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $M$ đến đường thẳng $BC.$

a) Chứng minh bốn điểm $O,\,\,M,\,\,H,\,\,B$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$a) Chứng minh bốn điểm $O,\,\,M,\,\,H,\,\,B$ cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)$

a) Cách 1: Ta có $MN \bot AB$ tại \[O\] nên $\Delta MOB$ vuông tại \[O\], suy ra ba điểm \[M,{\rm{ }}O,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].

Ta có $MH \bot CB$ tại \[H\] nên $\Delta MHB$ vuông tại \[H,\]suy ra ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].

Do đó bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].

Cách 2: Gọi \[I\] là trung điểm của \[MB\].

Ta có $MN \bot AB$ tại \[O\] nên $\Delta MOB$ vuông tại \[O,\] lại có \[OI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $MB$ nên $IO = IM = IB = \frac{1}{2}MB.$

Ta có $MH \bot CB$ tại \[H\] nên $\Delta MHB$ vuông tại \[H,\] lại có \[HI\] là đường trung tuyến với cạnh huyền $MB$ nên $IH = IM = IB = \frac{1}{2}MB.$

Vậy $IO = IM = IH = IB$ nên bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn tâm \[I,\] đường kính $MB.$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

b) Hai đường thẳng $MB$ và $OH$ cắt nhau tại $E.$ Chứng minh $\widehat {MHO} = \widehat {MNA}$ và $ME \cdot MH = BE \cdot HC.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Chứng minh $\widehat {MHO} = \widehat {MNA}$

Xét đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] có $\widehat {MHO} = \widehat {MBO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MO).\]

Xét đường tròn tâm \[O\] có: $\widehat {MBA} = \widehat {MNA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MA)\] hay $\widehat {MBO} = \widehat {MNA}$

Do đó: $\widehat {MHO} = \widehat {MNA}.$

⦁ Chứng minh $ME \cdot MH = BE \cdot HC$

Xét đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] có $\widehat {BMO} = \widehat {BHO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[OB)\]

Tam giác \[MBO\] cân tại \[O\] (do $OM = OB)$ nên $\widehat {BMO} = \widehat {MBO}$.

Lại có $\widehat {MHO} = \widehat {MBO}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat {MHO} = \widehat {BHO}$ nên \[HO\] là tia phân giác của $\widehat {MHB}$ hay \[ME\] là tia phân giác của $\widehat {MHB}.$

Xét $\Delta MHB$ có \[ME\] là tia phân giác của $\widehat {MHB}$ nên $\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MH}}{{BH}}$ (1)

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính và $M \in \left( O \right)$ nên $\widehat {AMB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó $\widehat {CMB} = 90^\circ $ nên $\widehat {HMC} + \widehat {HMB} = 90^\circ .$

Mặt khác, $\Delta MHB$ vuông tại $H$ nên $\widehat {HMB} + \widehat {HBM} = 90^\circ $ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông).

Suy ra $\widehat {HMC} = \widehat {HBM}.$

Xét $\Delta MHC$ và $\Delta BHM$ có: $\widehat {HMC} = \widehat {BHM} = 90^\circ $ và $\widehat {HMC} = \widehat {HBM}$

Do đó (g.g), suy ra $\frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{HC}}{{HM}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{MH}}{{BH}}} \right)$ hay $ME \cdot MH = BE \cdot HC$.

Câu 3:

c) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn $\left( O \right)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $MHC.$ Chứng minh ba điểm $C,\,\,P,\,\,E$ là ba điểm thẳng hàng.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Tam giác \[MHC\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}C\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MC.\]

Mà \[P\] thuộc đường tròn đó nên $\widehat {MPC} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mặt khác, \[P\] thuộc đường tròn tâm \[O,\] đường kính \[MN\] nên $\widehat {MPN} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vậy $\widehat {MPN} + \widehat {MPC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $ nên \[C,{\rm{ }}P,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (3)

⦁ Xét $\Delta MHC$ và $\Delta BMC$ có:

$\widehat {MHC} = \widehat {BMC} = 90^\circ $ và $\widehat {MCB}$ là góc chung

Do đó (g.g), suy ra $\frac{{MH}}{{BM}} = \frac{{HC}}{{MC}}$ hay $\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}$.

Tam giác \[BMN\]có \[BO\] là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \[\Delta BMN\] cân tại \[B\], suy ra $BM = BN.$

Do đó từ $\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}$ ta có $\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BN}}$

Theo câu b ta có: $\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}$ nên $\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}$.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $MN$ có $B \in \left( O \right)$ nên $\widehat {NBM} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\widehat {NBE} = 90^\circ .$

Xét $\Delta MCE$ và $\Delta BNE$ có: $\widehat {CME} = \widehat {NBE} = 90^\circ $ và $\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}$

Do đó (g.g), suy ra $\widehat {MEC} = \widehat {BEN}$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat {BEN} + \widehat {CEB} = \widehat {MEC} + \widehat {CEB} = \widehat {MEB} = 180^\circ $ nên ba điểm \[C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (4)

Từ (3) và (4) ta có bốn điểm \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E;{\rm{ }}N\] thẳng hàng hay \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E\] thẳng hàng.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »