Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 43

a) Trong mẫu số liệu trên, số liệu có giá trị nhỏ nhất là \[41\], số liệu có giá trị lớn nhất là \[59\]. Vì thế, ta có thể chọn nửa khoảng \[[40;\,\,60)\] sao cho giá trị của mỗi số liệu trong mẫu số liệu đều thuộc nửa khoảng \[[40;\,\,60)\]. Vì độ dài của nửa khoảng \[[40;\,\,60)\] bằng \[60 - 40 = 20\] nên ta có thể phân chia nửa khoảng đó thành bốn nửa khoảng có độ dài bằng nhau là: \[[40;\,\,45)\], \[[45;\,\,50)\], \[\,[50;\,\,55)\]\[\,[55 & ;\,\,60)\].

Vậy ta có thể ghép mẫu số liệu đã cho theo bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng đó.

b) Tốc độ của xe đi từ \[40\] \[{\rm{km/h}}\] đến dưới \[45\] \[{\rm{km/h}}\] là \[7\] xe;

Tốc độ của xe đi từ \[45\] \[{\rm{km/h}}\] đến dưới \[50\] \[{\rm{km/h}}\] là \[7\] xe;

Tốc độ của xe đi từ \[50\] \[{\rm{km/h}}\] đến dưới \[55\] \[{\rm{km/h}}\] là \[5\] xe;

Tốc độ của xe đi từ \[55\] \[{\rm{km/h}}\] đến dưới \[60\] \[{\rm{km/h}}\] là \[6\] xe.

Do đó ta có bảng tần số ghép nhóm

- Không gian mẫu của phép thử “Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có 2 chữ số” là: \(\Omega  = \left\{ {11;\,\,13;\,\,15;\,\,...;\,\,97;\,\,99} \right\}\)

- Số phần tử của tập hợp \(\Omega \) là: \(\frac{{99 - 11}}{2} + 1 = 45\) (phần tử)

- Các kết quả thuận lợi của biến cố \(A\): “Số tự nhiên viết ra là bình phương của \[1\] số tự nhiên” là:\(\left\{ {25;\,\,49;\,\,81} \right\}\). Biến cố này gồm \(3\) phần tử.

- Xác suất của biến cố A là: \(3:45 = \frac{1}{{15}}\)

1) Thay \(x = 0,49\) (thỏa mãn) vào \(M\), ta có: \(M = \frac{{\sqrt {0,49}  - 1}}{{\sqrt {0,49} }} = \frac{{ - 3}}{7}\).

Vậy \(M = \frac{{ - 3}}{7}\) khi \(x = 0,49\)

2) \(P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{2}{{1 - \sqrt x }}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 2 + 8\sqrt x  + 2\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{x + 7\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 6} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}}\) (điểu phải chứng minh)

3) Xét \(Q = M.P + \frac{{x - 5}}{{\sqrt x }}\) suy ra \(Q = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Xét hiệu \(Q - 3 = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\)

Với \[x > 0;x \ne {\rm{ }}1\] thì \({\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0\) và \(\sqrt x  > 0\) suy ra \(\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} \ge 0\) hay \(Q \ge 3\)

Gọi \[x\;(x \ge 0)\] là số kg loại I cần sản xuất, \[y\;(y \ge 0)\] là số kg loại II cần sản xuất.
Suy ra số nguyên liệu cần dùng là \[2x + 4y\], thời gian là \[30x + 15y\], có mức lợi nhuận là \[40000x + 30000y\].
Theo giả thiết bài toán xưởng có \[200kg\] nguyên liệu và \[120\] giờ làm việc suy ra \[2x + 4y \le 200\;\]hay \[x + 2y - 100 \le 0\]và \[30x + 15y \le 1200\;\]hay \[2x + y - 80 \le 0\].
Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 \le 0\\2x + y - 80 \le 0\end{array} \right.\] với \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\)

            sao cho \[L(x;y) = 40000x + 30000y\;\]đạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \[(d):x + 2y - 100 = 0,\;(d\prime ):2x + y - 80 = 0\].

            Giá trị lớn nhất của \[L(x;y) = 40000x + 30000y\;\]đạt tại một trong các điểm \[\left( {0;0} \right),\;\left( {40;0} \right),\;\left( {0;50} \right),\;\left( {20;40} \right)\]
Ta có:  \[L\left( {0;0} \right) = 0;\;L\left( {40;0} \right) = 1600000;\;L\left( {0;50} \right) = 1500000;L\left( {20;40} \right) = 2000000\] suy ra giá trị lớn nhất của \[L\left( {x;y} \right)\]là \[2\,000\,000\] khi \[\left( {x;y} \right) = \left( {20;40} \right)\].
Vậy cần sản xuất \[20\] kg sản phẩm loại I và \[40\;\]kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau một năm là: \(x + 0,06x = 1,06x\) (triệu đồng)

Số tiền cả gốc và lãi sau năm thứ hai là: \(1,06x.\left( {1 + 6\% } \right) = 1,1236x\) (triệu đồng)

Vì sau hai năm, bác Chín nhận được \(33,9\) triệu đồng cả gốc và lãi, nên ta có phương trình: \(1,1236x = 33,708\)

\(x = 33,708:1,1236 = 30\) (thỏa mãn)

Vậy số tiền ban đầu bác Chín gửi vào là \(30\) triệu đồng.

Gọi thời gian đội 1 hoàn thành công việc một mình là \(x\) (giờ, \(x > 4\))

Gọi thời gian đội 2 hoàn thành công việc một mình là \(y\) (giờ, \(y > 4\))

Trong một giờ, đội 1 làm được số phần công việc là: \(\frac{1}{x}\) (công việc); đội 2 làm được số phần công việc là: \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Trong một giờ, cả hai đội là được số phần công việc là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\). Trong bốn giờ, cả hai đội làm được số phần công việc là: \(4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).

Khi đó cả hai đội làm xong việc nên ta có phương trình là: \(4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\)     (1)

Trong ba giờ, cả hai đội làm được số phần công việc là: \(3.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc);

Trong ba giờ, đội 2 làm được số phần công việc là: \(3.\frac{1}{y}\) (công việc).

Khi đó công việc mới xong, nên ta có phương trình: \(3.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + 3.\frac{1}{y} = 1\) hay \(3.\frac{1}{x} + 6.\frac{1}{y} = 1\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\\3.\frac{1}{x} + 6.\frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 12\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy đội 1 làm một mình trong \(6\) giờ xong, đội 2 làm một mình trong \(12\) giờ xong công việc