(1,5 điểm) Cho biểu thức: \(M = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }};P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{2}{{1 - \sqrt x }}\)với x > 0; x ≠ 1.

1) Tính M khi \(x = 0,49\)                                         

2) Chứng minh P = \(\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}}\)

3) Đặt Q = M.P + \(\frac{{x - 5}}{{\sqrt x }}\). So sánh Q với 3.

1) Thay \(x = 0,49\) (thỏa mãn) vào \(M\), ta có: \(M = \frac{{\sqrt {0,49}  - 1}}{{\sqrt {0,49} }} = \frac{{ - 3}}{7}\).

Vậy \(M = \frac{{ - 3}}{7}\) khi \(x = 0,49\)

2) \(P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{2}{{1 - \sqrt x }}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 2 + 8\sqrt x  + 2\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{x + 7\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 6} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}}\) (điểu phải chứng minh)

3) Xét \(Q = M.P + \frac{{x - 5}}{{\sqrt x }}\) suy ra \(Q = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Xét hiệu \(Q - 3 = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\)

Với \[x > 0;x \ne {\rm{ }}1\] thì \({\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0\) và \(\sqrt x  > 0\) suy ra \(\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} \ge 0\) hay \(Q \ge 3\)