(0,5 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần \[2kg\] nguyên liệu và \[30\] giờ, đem lại mức lợi nhuận \[40\,000\] đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần \[4kg\] nguyên liệu và \[15\] giờ, đem lại mức lợi nhuận \[30\,\,000\] đồng. Xưởng có \[200kg\] nguyên liệu và \[120\] giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?

Gọi \[x\;(x \ge 0)\] là số kg loại I cần sản xuất, \[y\;(y \ge 0)\] là số kg loại II cần sản xuất.
Suy ra số nguyên liệu cần dùng là \[2x + 4y\], thời gian là \[30x + 15y\], có mức lợi nhuận là \[40000x + 30000y\].
Theo giả thiết bài toán xưởng có \[200kg\] nguyên liệu và \[120\] giờ làm việc suy ra \[2x + 4y \le 200\;\]hay \[x + 2y - 100 \le 0\]và \[30x + 15y \le 1200\;\]hay \[2x + y - 80 \le 0\].
Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 \le 0\\2x + y - 80 \le 0\end{array} \right.\] với \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\)

            sao cho \[L(x;y) = 40000x + 30000y\;\]đạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \[(d):x + 2y - 100 = 0,\;(d\prime ):2x + y - 80 = 0\].

            Giá trị lớn nhất của \[L(x;y) = 40000x + 30000y\;\]đạt tại một trong các điểm \[\left( {0;0} \right),\;\left( {40;0} \right),\;\left( {0;50} \right),\;\left( {20;40} \right)\]
Ta có:  \[L\left( {0;0} \right) = 0;\;L\left( {40;0} \right) = 1600000;\;L\left( {0;50} \right) = 1500000;L\left( {20;40} \right) = 2000000\] suy ra giá trị lớn nhất của \[L\left( {x;y} \right)\]là \[2\,000\,000\] khi \[\left( {x;y} \right) = \left( {20;40} \right)\].
Vậy cần sản xuất \[20\] kg sản phẩm loại I và \[40\;\]kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.