Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phú Yên có đáp án

a)    a) Rút gọn, tính giá trị A=\(\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\;\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Biết \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\).

-Rút gọn \({\rm{A}}\): Với điều kiện \({\rm{x}} \ge 0,{\rm{x}} \ne 1\), ta có:

\({\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}} + 2 + \sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}}  - 1} \right) - \left( {{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}}  + 1} \right)}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}}  - 1}}:\frac{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}}{{\sqrt {\rm{x}}  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {\rm{x}}  - 1} \right)}^2}}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}}  - 1}} \times \frac{{\sqrt {\rm{x}}  + 1}}{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}}  + 1}}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}}  + 1}}\).

-Lại có: \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5  + 1}} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt 5  + 1}} = \frac{{16}}{4} = 4\).

Do đó: \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{4 + \sqrt 4  + 1}} = \frac{3}{7}\)

b)     Biết \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2 \)(a>1,b>1).CMR:ab-\(\sqrt {1 - {{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} + {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}}  = 1\)

Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1\) nên: \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2  \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} = 2{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} - 2{\rm{ab}}\) .

Khi đó: \({\rm{B}} = ab - \sqrt {1 - {a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^2} - 2ab}  = ab - \sqrt {{{\left( {{\rm{ab}} - 1} \right)}^2}} \).

Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1 \Rightarrow {\rm{ab}} > {\rm{n\^e n\;B}} = {\rm{ab}} - {\rm{ab}} + 1 = 1\) (điều phải chứng minh)

a)Giải các phương trình, hệ phương trình

\(a){\left( {x - \sqrt 3 } \right)^3} + {\left( {x + \sqrt 5 } \right)^3}\)+\({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 - 2x} \right)^3}\)=0

Đặt \({\rm{u}} = {\rm{x}} - \sqrt 3 ,{\rm{\;v}} = {\rm{x}} + \sqrt 5 \), khi đó \(\sqrt 3 - \sqrt 5 - 2{\rm{x}} = - \left( {{\rm{u}} + {\rm{v}}} \right)\)

PTCĐ viết lại là:\({{\rm{u}}^3} + {{\rm{v}}^3} - {\left( {{\rm{u}} + {\rm{v}}} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{\rm{u}} + {\rm{v}}} \right){\rm{uv}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u + v = 0}\\{u = 0}\\{v = 0}\end{array}} \right.\)

(1):\({\rm{u}} + {\rm{v}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} - \sqrt 3 + {\rm{x}} + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{2}\)

(2):u = 0 \( \Leftrightarrow {\rm{x}} = \sqrt 3 \); (3):\({\rm{v}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - \sqrt 5 \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{2};\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right.\)}

Cách 2: Đặt \({\rm{a}} = {\rm{x}} - \sqrt 3 + {\rm{x}} + \sqrt 5 \), c=\(\sqrt 3 - \sqrt 5 - 2{\rm{x}}\). Khi đó:

\({{\rm{a}}^3} + {{\rm{b}}^3} + {{\rm{c}}^3} = 3{\rm{abc}}\)( chứng minh). Từ đó ta có nghiệm như cách 1

b)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^3} + 3{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} + 2 = 6{{\rm{y}}^{2{\rm{\;\;\;\;\;}}}}\left( 1 \right)}\\{3{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} = {{\rm{y}}^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = xy}\\{v = {y^2}}\end{array}} \right.\) . Dễ thấy y\( \ne 0.\) Từ(2) suy ra 3\(xy = \frac{{{y^2} + 2}}{{{y^2}}} > 0,\) do đó ta luôn có u\( > 0,{\rm{v}} > 0\left( 3 \right)\)

Ta có hệ phương trình mới:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}^3} + 3uv + 2 = 6v\;\left( 4 \right)}\\{3uv = v + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 5 \right)\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Thế (5) và (4) ta được:\(v = \frac{{{{\rm{u}}^3} + 4}}{5}\) (6)

Thế (6) vào (5) ta được:

\(3{{\rm{u}}^4} - {{\rm{u}}^3} + 12{\rm{u}} - 14 = 0 \Leftrightarrow \left( {{\rm{u}} - 1} \right)(3{{\rm{u}}^3} + 2{{\rm{u}}^2}\)+\(2{\rm{u}} + 14) = 0\)(7)

Đối chiếu với điều kiện(3) thì 3\({u^3} + 2{u^2} + 2u + 14 > 0\) nên(7) có nghiệm \({\rm{u}} = 1\)

Với \({\rm{u}} = 1\), từ (6) suy ra \({\rm{v}} = 1\) hay \({{\rm{y}}^2} = 1 \Leftrightarrow {\rm{y}} = \pm 1 \Rightarrow {\rm{x}} = \pm 1{\rm{\;}}\).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: \(\left( {{\rm{x}};{\rm{y}}} \right) = \left( {1;1} \right)\) và \(\left( {{\rm{x}};{\rm{y}}} \right) = \left( { - 1; - 1} \right)\)

Ta có biểu thức:\(\Delta  = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{a}}\left( {{\rm{b}} - 2{\rm{a}}} \right) = {\left( {2{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^2} + 4{{\rm{a}}^2} > 0,\forall {\rm{a}} \ne 0\); do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Giả sử 2 nghiệm đã cho là \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\).Theo định lí Viét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} =  - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}}}\\{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}}\end{array}} \right.\)

Từ giả thiết \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0 \Rightarrow \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} - \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = 2\), do đó

\( - \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) - {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 2\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) =  - 1\)(*). Nếu 2 nghiệm đều dương thì \(\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) > 1\), mâu thuẫn với (*).

Vậy 2 nghiệm của phương trình không thể đều dương.