Cho phương trình \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{bx}} + {\rm{c}} = 0{\rm{\;\;}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right),\) với a,b,c là số thực thỏa
\(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0.\) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương.
Cho phương trình \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{bx}} + {\rm{c}} = 0{\rm{\;\;}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right),\) với a,b,c là số thực thỏa
\(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0.\) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có biểu thức:\(\Delta = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{a}}\left( {{\rm{b}} - 2{\rm{a}}} \right) = {\left( {2{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^2} + 4{{\rm{a}}^2} > 0,\forall {\rm{a}} \ne 0\); do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử 2 nghiệm đã cho là \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\).Theo định lí Viét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}}}\\{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}}\end{array}} \right.\)
Từ giả thiết \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0 \Rightarrow \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} - \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = 2\), do đó
\( - \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) - {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 2\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) = - 1\)(*). Nếu 2 nghiệm đều dương thì \(\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) > 1\), mâu thuẫn với (*).
Vậy 2 nghiệm của phương trình không thể đều dương.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Chứng minh \(\Delta {\rm{NHB}}\) cân.
\(\Delta {\rm{AHC}}\) vuông tại \({\rm{H}}\) có \({\rm{HN}}\) là trung tuyến nên \({\rm{NA}} = {\rm{NC}} = {\rm{NH}}\) nên \(\Delta {\rm{HNA}}\) cân tại N, suy ra (1)..
Theo tính chất góc ngoài của tam giác thì \(\widehat {{\rm{NHA}}} = \widehat {{\rm{HNB}}} + \widehat {{\rm{HBN}}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{\rm{HNB}}} = \widehat {{\rm{HBN}}}\) hay \(\Delta {\rm{NHB}}\) cân tại H.
Chứng minh \({\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = HI.{\rm{BN}}\)
Theo a) \(\Delta {\rm{NHB\;}}\)cân tại H suy ra \(HB = HN = \frac{1}{2}\)AC (3)
Xét \(\Delta {\rm{NHI\;v\`a \;}}\Delta {\rm{BHI\;c\'o }}\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IAN = IBH}\\{IA = IB}\\{AN = BH\left( { = HN} \right)}\end{array} \Rightarrow \Delta {\rm{ANI}} = \Delta {\rm{BHI}} \Rightarrow {\rm{IN}} = {\rm{IH}}} \right.\)
Dẫn đến \(\Delta {\rm{NIH\;c\^a n\;tai I}} \Rightarrow \widehat {IHN}{\rm{ = }}\widehat {INH} \Rightarrow \Delta {\rm{NHB}}\~\Delta {\rm{NIH}}\) (hai tam giác cân có góc ở đáy bằng nhau)
\( \Rightarrow \frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BN}}}} = \frac{{{\rm{HI}}}}{{{\rm{HN}}}} \Rightarrow {\rm{BH}}.{\rm{BN}} = {\rm{HI}}.{\rm{BN}} \Rightarrow {\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{HI}}.{\rm{BN}}\)
b) Tính tỉ số \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}{\rm{khi\;}} \Rightarrow {\rm{ABC\;vu\^o ng}}\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pytago ta có
\({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{BH}}.{\rm{BA}} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} \Leftrightarrow {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{BH}}.{\rm{BA}} - {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 0\left( 4 \right)\)
Từ (3) và(4) ta có 2\({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{AB}}.{\rm{AC}} - 2{\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 0\)(5)
Vì AC>0, chia 2 vế cho \(A{C^2}\) ta được phương trình bậc 2 với \(x = \frac{{AB}}{{AC}}\) là: \(2{x^2} - {\rm{x}} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x}} = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\\{{\rm{x}} = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.\)
Do \(\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < 0{\rm{\;}}\left( {{\rm{loai}}} \right)\) nên ta chọn \({\rm{x}} = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}\), hay \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}\)
Lời giải
a) a) Rút gọn, tính giá trị A=\(\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\;\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)
Biết \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\).
-Rút gọn \({\rm{A}}\): Với điều kiện \({\rm{x}} \ge 0,{\rm{x}} \ne 1\), ta có:
\({\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}} + 2 + \sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} + 1} \right)}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - 1}}:\frac{{\sqrt {\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - 1}} \times \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} + 1}}\).
-Lại có: \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt 5 + 1}} = \frac{{16}}{4} = 4\).
Do đó: \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{4 + \sqrt 4 + 1}} = \frac{3}{7}\)
b) Biết \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2 \)(a>1,b>1).CMR:ab-\(\sqrt {1 - {{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} + {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} = 1\)
Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1\) nên: \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} = 2{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} - 2{\rm{ab}}\) .
Khi đó: \({\rm{B}} = ab - \sqrt {1 - {a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^2} - 2ab} = ab - \sqrt {{{\left( {{\rm{ab}} - 1} \right)}^2}} \).
Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1 \Rightarrow {\rm{ab}} > {\rm{n\^e n\;B}} = {\rm{ab}} - {\rm{ab}} + 1 = 1\) (điều phải chứng minh)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập