Cho phương trình \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{bx}} + {\rm{c}} = 0{\rm{\;\;}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right),\) với a,b,c là số thực thỏa
\(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0.\) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương.
Cho phương trình \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{bx}} + {\rm{c}} = 0{\rm{\;\;}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right),\) với a,b,c là số thực thỏa
\(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0.\) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có biểu thức:\(\Delta = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{a}}\left( {{\rm{b}} - 2{\rm{a}}} \right) = {\left( {2{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^2} + 4{{\rm{a}}^2} > 0,\forall {\rm{a}} \ne 0\); do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử 2 nghiệm đã cho là \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\).Theo định lí Viét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}}}\\{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}}\end{array}} \right.\)
Từ giả thiết \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0 \Rightarrow \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} - \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = 2\), do đó
\( - \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) - {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 2\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) = - 1\)(*). Nếu 2 nghiệm đều dương thì \(\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) > 1\), mâu thuẫn với (*).
Vậy 2 nghiệm của phương trình không thể đều dương.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Chứng minh \({\rm{BH}} \bot {\rm{AI}}\)
Gọi \({\rm{M}}\) là giao điểm của \({\rm{EI}}\) và \({\rm{AC}}\), ta có \({\rm{M}}\) là trực tâm của tam giác \({\rm{ECD}} \Rightarrow {\rm{DM}}\)//\({\rm{BC}}\)..
Tam giác ABC có
\({\rm{DA}} = {\rm{DB}},{\rm{\;DM}}\parallel {\rm{BC}} \Rightarrow {\rm{MA}} = {\rm{MC}}\).
Tam giác \({\rm{AHC}}\) có
\({\rm{MA}} = {\rm{MC}},{\rm{\;MI}}\parallel {\rm{AH}} \Rightarrow {\rm{IH}} = {\rm{IC}}\).
Gọi \({\rm{N}}\) là trung điểm của \({\rm{AH}}\) ta có \({\rm{IN}}\parallel {\rm{AC}} \Rightarrow {\rm{IN}} \bot {\rm{AD}}\).
Tam giác \({\rm{ADI\;c\'o }}\)
\({\rm{AH}} \bot {\rm{DI}},{\rm{\;IN}} \bot {\rm{AD}}\) do đó \({\rm{N}}\) là trực tâm \( \Rightarrow {\rm{DN}} \bot {\rm{AI}} \Rightarrow {\rm{BH}} \bot {\rm{AI}}\).
b) Chứng minh tứ giác \({\rm{BCEK}}\) nội tiếp
Từ \({\rm{BH}} \bot {\rm{AI\;}} \Rightarrow {\rm{IN}}\parallel {\rm{AC}} \Rightarrow \widehat {{\rm{IAD}}} = \widehat {{\rm{KBD}}}\)
Xét \(\Delta {\rm{KBD\;v\`a \;}}\Delta {\rm{IAD}}\) có:
\(\widehat {{\rm{IAD}}} = \widehat {{\rm{KBD}}},{\rm{\;DA}} = {\rm{DB}},{\rm{\;}}\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{BDK}}} \Rightarrow \Delta {\rm{KBD\;}} = {\rm{\;}}\Delta {\rm{IAD}}\)
\( \Rightarrow {\rm{DK}} = {\rm{DI}}\) (1).
Vì \(\Delta {\rm{DAC\;}}\~{\rm{\;}}\Delta {\rm{DIE}}\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{{\rm{DA}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DE}}}} \Rightarrow {\rm{DA}}.{\rm{DE}} = {\rm{DI}}.{\rm{DC}}\)(2).
Từ (1) và (2) kết hợp với \({\rm{DA}} = {\rm{DB}}\) suy ra \({\rm{DA}}.{\rm{DE}} = {\rm{DK}}.{\rm{DC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{\rm{DK}}}}{{{\rm{DE}}}} = \frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{DC}}}} \Rightarrow \Delta {\rm{DEK\;}}\~{\rm{\;}}\Delta {\rm{DCB}} \Rightarrow \widehat {{\rm{DEK}}} = \widehat {{\rm{DCB}}}\)dẫn đến \({\rm{BCEK}}\) nội tiếp.
Lời giải
a) a) Rút gọn, tính giá trị A=\(\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\;\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)
Biết \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\).
-Rút gọn \({\rm{A}}\): Với điều kiện \({\rm{x}} \ge 0,{\rm{x}} \ne 1\), ta có:
\({\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}} + 2 + \sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} + 1} \right)}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - 1}}:\frac{{\sqrt {\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - 1}} \times \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} + 1}}\).
-Lại có: \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt 5 + 1}} = \frac{{16}}{4} = 4\).
Do đó: \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{4 + \sqrt 4 + 1}} = \frac{3}{7}\)
b) Biết \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2 \)(a>1,b>1).CMR:ab-\(\sqrt {1 - {{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} + {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} = 1\)
Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1\) nên: \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} = 2{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} - 2{\rm{ab}}\) .
Khi đó: \({\rm{B}} = ab - \sqrt {1 - {a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^2} - 2ab} = ab - \sqrt {{{\left( {{\rm{ab}} - 1} \right)}^2}} \).
Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1 \Rightarrow {\rm{ab}} > {\rm{n\^e n\;B}} = {\rm{ab}} - {\rm{ab}} + 1 = 1\) (điều phải chứng minh)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập