Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại E. Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng DC.

a)     Chứng minh BH vuông góc với  AI.

b)     Đường thẳng qua B vuông góc với BH cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp.

Ta có biểu thức:\(\Delta  = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{a}}\left( {{\rm{b}} - 2{\rm{a}}} \right) = {\left( {2{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^2} + 4{{\rm{a}}^2} > 0,\forall {\rm{a}} \ne 0\); do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Giả sử 2 nghiệm đã cho là \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\).Theo định lí Viét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} =  - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}}}\\{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}}\end{array}} \right.\)

Từ giả thiết \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0 \Rightarrow \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} - \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = 2\), do đó

\( - \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) - {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 2\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) =  - 1\)(*). Nếu 2 nghiệm đều dương thì \(\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right) > 1\), mâu thuẫn với (*).

Vậy 2 nghiệm của phương trình không thể đều dương.

a)    a) Rút gọn, tính giá trị A=\(\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\;\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Biết \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\).

-Rút gọn \({\rm{A}}\): Với điều kiện \({\rm{x}} \ge 0,{\rm{x}} \ne 1\), ta có:

\({\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}} + 2 + \sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}}  - 1} \right) - \left( {{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}}  + 1} \right)}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}}  - 1}}:\frac{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}}{{\sqrt {\rm{x}}  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {\rm{x}}  - 1} \right)}^2}}}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}}  - 1}} \times \frac{{\sqrt {\rm{x}}  + 1}}{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}}  + 1}}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}}  + 1}}\).

-Lại có: \({\rm{x}} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5  + 1}} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt 5  + 1}} = \frac{{16}}{4} = 4\).

Do đó: \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{4 + \sqrt 4  + 1}} = \frac{3}{7}\)

b)     Biết \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2 \)(a>1,b>1).CMR:ab-\(\sqrt {1 - {{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} + {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}}  = 1\)

Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1\) nên: \(\frac{1}{{\rm{a}}} + \frac{1}{{\rm{b}}} = \sqrt 2  \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} = 2{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2} - 2{\rm{ab}}\) .

Khi đó: \({\rm{B}} = ab - \sqrt {1 - {a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^2} - 2ab}  = ab - \sqrt {{{\left( {{\rm{ab}} - 1} \right)}^2}} \).

Vì \({\rm{a}} > 1,{\rm{b}} > 1 \Rightarrow {\rm{ab}} > {\rm{n\^e n\;B}} = {\rm{ab}} - {\rm{ab}} + 1 = 1\) (điều phải chứng minh)