1)$P = \frac{{x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$ = \frac{{x + 2 + x - \sqrt x - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$ = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}$.

2)$P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x + \sqrt x - 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( l \right)$.

Câu 3

1) Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ (với $m$ là tham số).

a) Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $\left( 1 \right)$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \[\sqrt {13} \].

2) Giải phương trình $6\sqrt {2x + 5} + 4\sqrt {x + 2} = 3x + 20$.

Xem đáp án

Lời giải

1 a)Ta có $\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {4m - 2} \right) = 4{m^2} - 12m + 9$.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}$.

b)Với $m \ne \frac{3}{2}$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $x = 2,\,x = 2m - 1$.

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên $2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$.

Ta có $x_1^2 + x_2^2 = 13 \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {2m - 1} \right)^2} = 13 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\left( l \right)\\m = 2\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$.

Vậy $m = 2$.

2) Phương trình trở thành $\left[ {\left( {2x + 5} \right) - 6\sqrt {2x + 5} + 9} \right] + \left[ {\left( {x + 2} \right) - 4\sqrt {x + 2} + 4} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 5} - 3} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {2x + 5} - 3 = 0}\\{\sqrt {x + 2} - 2 = 0}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{\sqrt {x + 2} - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\left( {tm} \right)$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$.

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ là đường cao. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB$, $AC$.

1) Chứng minh tứ giác $AEDF$ nội tiếp và $AE.AB = AF.AC$.

2) Gọi $AP$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $AP$ vuông góc với $EF$.

3) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $T$. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $BTC$. Chứng minh tam giác $HKT$ vuông tại $H$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ là đường cao. Gọi (ảnh 1)$

1)Ta có $\widehat {AED} = 90^\circ $, $\widehat {AFD} = 90^\circ $

Xét tứ giác $AEDF$ có $\widehat {AED} + \widehat {AFD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $ suy ra tứ giác $AEDF$ nội tiếp.

Trong tam giác vuông $ABD$ có $DE$ là đường cao suy ra $AE.AB = A{D^2}\,\,\,\left( 1 \right)$.

Trong tam giác vuông $ACD$ có $DF$ là đường cao suy ra $AF.AC = A{D^2}\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có $AE.AB = AF.AC$.

2)Do $AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}$, mà $\widehat {BAC}$ chung

Suy ra

$ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB}$

Ta có $\widehat {BAP} = \widehat {BCP}$

Suy ra $\widehat {AEF} + \widehat {BAP} = \widehat {ACB} + \widehat {BCP} = \widehat {ACP} = 90^\circ $

Vậy $AP$ vuông góc với $EF$.

3)Ta có $AH \bot BC$, $TK \bot BC \Rightarrow AH\parallel TK$.

Do $BH \bot AC$, $PC \bot AC \Rightarrow BH\parallel PC$.

Do $CH \bot AB$, $PB \bot AB \Rightarrow CH\parallel PB$.

Suy ra tứ giác $BHCP$ là hình bình hành.

Gọi $I$ là trung điểm $BC$, ta có $OI = \frac{1}{2}AH$.

Tương tự $OI = \frac{1}{2}TK \Rightarrow AH = TK$.

Khi đó tứ giác $AHKT$ là hình bình hành.

$ \Rightarrow AT\parallel HK$.

Mà $\widehat {ATH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {THK} = 90^\circ $

Vậy tam giác $HKT$ vuông tại $H$.

Câu 5

1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} + 3} - 2\sqrt y = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {2x} \\\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} \end{array} \right.$.

2) Xét hai số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $6x + y = 2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3x + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + \frac{{42}}{y} + {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}$.

Xem đáp án

Lời giải

1)Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 3\\y \ge 0\\y + 3 - {x^2} \ge 0\end{array} \right.$.

Phương trình (1) trở thành $\sqrt {4{x^2} + 3} - \sqrt {{y^2} + 3} + 2\sqrt {2x} - 2\sqrt y = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {2x} - \sqrt y } \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt {2x} + \sqrt y } \right)\left( {2x + y} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} }} + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow y = 2x$.

Thay vào phương trình (2) ta được

$\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {2x + 3 - {x^2}} $

Đặt $t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \Rightarrow \sqrt {2x + 3 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}$

Khi đó $t = 2 + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.$

Với $t = 0$ ta được $\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 0\left( {vn} \right)$.

Với $t = 2$ ta được $\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\left( l \right)\\x = 3\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$.

Với $x = 3 \Rightarrow y = 6$. $P = \left( {2x + 2x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{6}{y}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + 2\sqrt {xy} \ge 3.2 + 2 + 2.6 + 2\sqrt 6 $

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right) = \left( {3;6} \right)$.

2)Ta có $P = 4x + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + y + \frac{{42}}{y} + 2\sqrt {xy} $

Do $x > 0,y > 0$ và $6x + y = 2xy$ nên $\frac{1}{x} + \frac{6}{y} = 2$

Mặt khác ta có $2xy = 6x + y \ge 2\sqrt {6xy} \Rightarrow \sqrt {xy} \ge \sqrt 6 $

Khi đó

$ \Rightarrow P \ge 20 + 2\sqrt 6 $.

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1,y = 6$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $20 + 2\sqrt 6 $.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý