Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 17

Tần số ghép nhóm của nhóm \(\left[ {10;20} \right)\)là \(45\% .40 = 18\).

\(\Omega  = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right)} \right\}\)

Không gian mẫu có 11 phần tử.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right)\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{{11}}\).

Vậy \(A = \frac{1}{2}\)khi \(x = 9\).

2)   \(B = \frac{{x - \sqrt x  - \sqrt x  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)(với \(x \ge 0,x \ne 1\))

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)( đpcm)

3)  Ta có \(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Ta có: \(\left| P \right| + P = 0 \Rightarrow \left| P \right| =  - P \Rightarrow P \le 0\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\)

Mà \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 > 0\), với mọi x thoả mãn ĐKXĐ

Suy ra \(\sqrt x  - 2 \le 0\)

             \(\sqrt x  \le 2\)

                \(x \le 4\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\), \(x \ge 0,x \ne 1\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {0;2;3;4} \right\}\).

Vậy \(x \in \left\{ {0;2;3;4} \right\}\)thì \(\left| P \right| + P = 0\).

Ta có: \(\frac{{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{{\sqrt {a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }} = \frac{{2(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{{\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }}(1)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  \le \frac{{4a{\rm{ }} + {\rm{ }}(3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{2} = \frac{{7a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{2}{\rm{ }}\left( 2 \right)\\\sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)}  \le \frac{{4b{\rm{ }} + {\rm{ }}(3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a)}}{2} = \frac{{7b{\rm{ }} + {\rm{ }}a}}{2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (2) và (3) suy ra: \(\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)}  \le 4a{\rm{ }} + {\rm{ }}4b{\rm{ }}\left( 4 \right)\)

Từ (1) và (4) suy ra:

\(\frac{{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{{\sqrt {a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }} \ge \frac{{2(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{{4a{\rm{ }} + {\rm{ }}4b}} = \frac{1}{2}\).

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[a = b\].

Gọi số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A lần lượt là \[x,\,y\] (học sinh; \[x,y\]\[ \in {\mathbb{N}^*}\])

Vì lớp 9A có 35 học sinh nên ta có PT: \[x + y = 35\] (1)

Vì số học sinh không cận thị là 8 nên ta có \[25\% x + 20\% y = 8\](2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\25\% x + 20\% y = 8\end{array} \right.\]

Tìm ra \[x = 20,\,y = 15\] (TMĐK)

Vậy số học sinh nữ bị cận thị là \[20\% .15 = 3\](học sinh).

Gọi \[x\] là số ngày dự định để chi đoàn hoàn thành công việc (\[x > 1\]) (ngày)

                Số cây dự kiến trồng trong 1 ngày là \[\frac{{600}}{x}\](cây)

     Số ngày thực tế để chi đoàn hoàn thành công việc là \[x - 1\](ngày)

Số cây thực tế trồng được trong 1 ngày là \[\frac{{600}}{x} + 30\](cây)

Theo đề bài ta có phương trình:

\[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{600}}{x} + 30} \right) = 600\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {600 + 30x} \right) = 600x\]

\[600x - 600 + 30{x^2} - 30x = 600x\]

\[30x{}^2 - 30x - 600 = 0\]

\[{x^2} - x - 20 = 0\]

\[{x^2} - 5x + 4x - 20 = 0\]

\[x\left( {x - 5} \right) + 4\left( {x - 5} \right) = 0\]

\[\left( {x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\]

TH1:

\[\begin{array}{l}x - 5 = 0\\x = 5\,\,\,(tm)\end{array}\]              

TH2:

\[x + 4 = 0\]

\[x =  - 4\,\,(ko\,\,tm)\]

Vậy số ngày dự định để chi đoàn hoàn thành công việc là \[5\]ngày