(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}};B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{2}{{x - 1}}\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) tại \(x = 9\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Cho \(P = A.B\). Tìm các giá trị nguyên của \(x\)để \(\left| P \right| + P = 0\) .

Vậy \(A = \frac{1}{2}\)khi \(x = 9\).

2)   \(B = \frac{{x - \sqrt x  - \sqrt x  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)(với \(x \ge 0,x \ne 1\))

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)( đpcm)

3)  Ta có \(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Ta có: \(\left| P \right| + P = 0 \Rightarrow \left| P \right| =  - P \Rightarrow P \le 0\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\)

Mà \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 > 0\), với mọi x thoả mãn ĐKXĐ

Suy ra \(\sqrt x  - 2 \le 0\)

             \(\sqrt x  \le 2\)

                \(x \le 4\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\), \(x \ge 0,x \ne 1\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {0;2;3;4} \right\}\).

Vậy \(x \in \left\{ {0;2;3;4} \right\}\)thì \(\left| P \right| + P = 0\).