(0,5 điểm) Chứng minh rằng:\(\frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \frac{1}{2}\) với \[a,b\] là các số dương .
(0,5 điểm) Chứng minh rằng:\(\frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \frac{1}{2}\) với \[a,b\] là các số dương .
Câu hỏi trong đề: Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 17 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\frac{{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{{\sqrt {a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }} = \frac{{2(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{{\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)} + \sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }}(1)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)} \le \frac{{4a{\rm{ }} + {\rm{ }}(3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{2} = \frac{{7a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{2}{\rm{ }}\left( 2 \right)\\\sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} \le \frac{{4b{\rm{ }} + {\rm{ }}(3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a)}}{2} = \frac{{7b{\rm{ }} + {\rm{ }}a}}{2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array}\)
Từ (2) và (3) suy ra: \(\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)} + \sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} \le 4a{\rm{ }} + {\rm{ }}4b{\rm{ }}\left( 4 \right)\)
Từ (1) và (4) suy ra:
\(\frac{{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{{\sqrt {a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }} \ge \frac{{2(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{{4a{\rm{ }} + {\rm{ }}4b}} = \frac{1}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[a = b\].
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A lần lượt là \[x,\,y\] (học sinh; \[x,y\]\[ \in {\mathbb{N}^*}\])
Vì lớp 9A có 35 học sinh nên ta có PT: \[x + y = 35\] (1)
Vì số học sinh không cận thị là 8 nên ta có \[25\% x + 20\% y = 8\](2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\25\% x + 20\% y = 8\end{array} \right.\]
Tìm ra \[x = 20,\,y = 15\] (TMĐK)
Vậy số học sinh nữ bị cận thị là \[20\% .15 = 3\](học sinh).
Lời giải
a) Bán kính của hình cầu là: \(R = \frac{d}{2} = \frac{{50}}{2} = 25{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {cm} \right)\)
Thể tích phần gạo hình cầu là: \({V_c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {25^3} = \frac{{31{\kern 1pt} 250}}{3}\pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích phần gạo vun lên dạng hình nón là: \({V_n} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi \cdot {25^2} \cdot 12 = 2500\pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích gạo trong thùng là: \({V_g} = \frac{{31{\kern 1pt} 250}}{3}\pi + 2500\pi = \frac{{38750}}{3}\pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {c{m^3}} \right)\)
b) Thể tích lon là: \(\pi {.5^2}.14 = 350{\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích gạo một ngày múc là : \(4.90\% .350\pi = 1260\pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {c{m^3}} \right)\)
Ta có : \(\frac{{38{\kern 1pt} 750}}{\pi }:1{\kern 1pt} 260\pi \approx 10,3\)
Vậy cần ít nhất 11 ngày để dùng hết số gạo trong thùng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập