Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Gia Quất - Ngọc Thụy (Hà Nội) tháng 4/2026 có đáp án

a) Số học sinh đạt điểm trong nhóm [6;8) là:

\(200 - (4 + 20 + 48 + 56) = 72\)(học sinh)

b)  Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {8;10} \right)\) là: \(f = \frac{n}{N}.100\%  = \frac{{56}}{{200}}.100\%  = 28\% .\)

Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega  = \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}...;{\rm{ 19;}}\,\,20} \right\}\]. Không gian mẫu có 20 phần tử.

Vì các thẻ trong hộp là cùng loại nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A  là  3 ; 6 ; 9 ; 12 

Xác suất của biến cố \[A\] là \(P\left( A \right) = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 64.\)

Thay \(x = 64\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta được: \(A = \frac{{\sqrt {64}  - 2}}{{\sqrt {64}  - 3}} = \frac{6}{5}\)

Vậy khi \(x = 64\) thì \(A = \frac{6}{5}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{4 - x}}\,\,(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9)\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x  + 3\sqrt x  - 6 - 9\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\), \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\) (đpcm)

3) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = B:A\) nhận giá trị nguyên.

Xét \(P = B:A\) , \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vì \(x \ge 0\)\( \Rightarrow \)\(\sqrt x  \ge 0\) nên \[\sqrt x  + 2 > 0\], mà \( - 5 < 0\) suy ra \[\frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} < 0\]

\( \Rightarrow \)\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} < 1\)

 \(P < 1\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \)\(\sqrt x  \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) suy ra \(\frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 5}}{2}\)

\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge 1 + \frac{{ - 5}}{2}\)

\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Vậy \(P \ge \frac{{ - 3}}{2}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{ - 3}}{2} \le P < 1\) mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ { - 1\,;\,\;0} \right\}\)

Nếu \(P = 0\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 0\) \( \Rightarrow x = 9\)(loại).

Nếu \(P =  - 1\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} =  - 1\)

\( \Rightarrow \sqrt x  - 3 =  - \sqrt x  - 2\)

\(2\sqrt x  = 1\)

\(\sqrt x  = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy). Điều kiện: \(x > 0\).    

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(10\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,000x + \frac{{250}}{x}.160000 = 100\,000x + \frac{{40000000}}{x}\) (đồng)

+ Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,000x\) và \(\frac{{40000000}}{x}\), ta được:

\(\begin{array}{l}100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,000x.\frac{{40000000}}{x}} \\100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 4000\,000\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(100\,000x = \frac{{40000000}}{x}\) nên \({x^2} = \frac{{40000000}}{{100\,000}}\) suy ra \({x^2} = 400\)

Suy ra \(x = 20\) (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là \(x,y\,\)(nghìn đồng) với \(0 < x < 850;\;0 < y < 850.\)

Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền \(850\;000\)đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 850\,\,\) \(\left( 1 \right)\)

Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là: \(x - 10\% x = x - 0,1x = 0,9x\)(nghìn đồng)

Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là: \(y - 20\% y = y - 0,2y = 0,8y\)(nghìn đồng)

Vì bác Minh đã trả ít hơn \(125\;000\) đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: \(0,9x + 0,8y = 850 - 125 = 725\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 850}\\{0,9x + 0,8y = 725}\end{array}} \right.\]

Giải hệ phương trình, tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 400\end{array} \right.\)

Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: \[450\](nghìn đồng).

Giá niêm yết một chiếc quạt điện là: \[400\](nghìn đồng).

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\] (\[x > 4\]).

Vận tốc ca nô chạy xuôi dòng từ \[A\] đến \[B\] là: \[x + 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Vận tốc ca nô chạy ngược dòng từ \[B\] đến \[A\] là: \[x - 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Thời gian ca nô ca nô chạy xuôi dòng từ\[A\] đến \[B\] là: \[\frac{{48}}{{x + 4}}\] giờ.

Thời gian ca nô chạy ngược dòng từ \[B\] đến\[A\] là: \[\frac{{48}}{{x - 4}}\] giờ.

Vì thời gian cả đi lẫn về hết \[5\] giờ nên theo bài ra ta có phương trình:

\[\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5\]

\[\frac{{48\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{48\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{5\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\]

\[\frac{{96x}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{5{x^2} - 80}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\]

\[5{x^2} - 96x - 80 = 0\]

Tìm được\[\,{x_1} = 20\] (tmđk); \[{x_2} =  - \frac{4}{5}\] (loại)

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[20\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].