(4 điểm)

Để đựng nước ngọt có gas, nhà sản xuất đã thiết kế chiếc lon hình trụ tròn dáng thấp, đáy to có chiều cao \(7,8{\rm{ cm}}\) và đường kính đáy \(7{\rm{ cm}}\) được làm bằng nhôm.

a) Tính diện tích nhôm để làm một vỏ lon nước.

b) Để cải tiến mẫu mã, nhà thiết kế đã làm theo mẫu mới với dáng thon dài chiều cao của lon \(12,5{\rm{ cm}}\) và bán kính đáy \(2,8{\rm{ cm}}\). Kiểu dáng nào sử dụng nguyên liệu nhiều hơn? (coi các mép gấp là không đáng kể).

a) Có \(CD \bot AB\) tại \(I\) nên \(\widehat {KIB} = {90^0}\)

\(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \[K,B,I\]thuộc đường tròn đường kính \[KB\](1)

Xét \[(O)\] có \(\widehat {AEB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \) \(\widehat {KEB} = {90^0}\)

\(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) nên ba điểm \[K,E,B\]thuộc đường tròn đường kính \[KB\] (2)

Từ (1) (2) ta suy ra 4 điểm \[K,{\rm{ }}E,{\rm{ }}B,{\rm{ }}I\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[KB\]

b) Gọi \[P\] là giao điểm của hai tia \[BE\] và \[DC\], \(Q\) là giao điểm của \[AP\] và \[BK\]. Chứng minh \(AP \bot BK\) tại \(Q\) và \(PQ.PA = PE.PB\).

+) \(\Delta ABP\) có 2 đường cao \[PI;AE\]cắt nhau tại \(K \Rightarrow \)\(K\)là trực tâm của tam giác \(\Delta ABP\)

\( \Rightarrow \)\(AP \bot BK\)tại \(Q\) .

+) Có \(\widehat {PQB} = {90^0}\) \( \Rightarrow \)\(Q \in (O)\)

Xét \(\Delta PEA\) và \(\Delta PQB\) có

\(\widehat {QPB} = \widehat {EPA}\)

\(\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = {90^0}\) (cmt)

Suy ra, \(\Delta PEA\~\Delta PQB(g - g)\)\( \Rightarrow \frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}{\rm{ hay }}PA.PQ = PE.PB{\rm{ (dpcm)}}\)

c) Chứng minh: \[JE\]là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

Xét \(\Delta PEK\) vuông tại \(E\) có \[EJ\]là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[PK\]nên \(JK = JE = JP\)

Suy ra \(\Delta PJE\) cân tại \(J\)nên \(\widehat {JPE} = \widehat {JEP}\)

\(\Delta OEB\) cân tại \(O\) (\(OE = OB = R\)) nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OEB}\)

Xét \(\Delta PIB\) vuông tại \(I\) có \(\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = {90^0}\)

Hay \(\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = {90^0}\) suy ra \(\widehat {JEO} = {90^0}\)

Vậy \[JE\] là tiếp tuyến của \((O)\)

d) Chứng minh: \(KM//IF\)

Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta PQE\)\( \Rightarrow \)\(QH//KE\)

Chứng minh tứ giác \[QHEK\]là hình bình hành (vì \(QH//KE\); \(QK//HE\))

Suy ra     \[K,M,H\]thẳng hàng

Chứng minh \(\Delta PIA\~\Delta PFE(g - g)\) nên \(\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}\)

Chứng minh \(\Delta PHE\~\Delta PKA(g - g)\) nên \(\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}\)

Suy ra \(\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}\)

Áp định lí Thales đảo trong \(\Delta PIF\) suy ra \(KH//IF\) hay \(KM//IF\) (đpcm)