(1,5 điểm)

Điểm khảo sát môn Toán của \(200\)học sinh khối 9 được thống kê trong bảng sau:

Nhóm	\[\left[ {0;2} \right)\]	\[\left[ {2;4} \right)\]	\[\left[ {4;6} \right)\]	\[\left[ {6;8} \right)\]	\[\left[ {8;10} \right)\]
Tần số \[\left( n \right)\]	4	20	48	?	56

a) Tìm số học sinh đạt điểm trong nhóm \[\left[ {6;8} \right)\].

b) Tìm tần số tương đối của nhóm \[\left[ {8;10} \right)\].

Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là \(x,y\,\)(nghìn đồng) với \(0 < x < 850;\;0 < y < 850.\)

Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền \(850\;000\)đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 850\,\,\) \(\left( 1 \right)\)

Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là: \(x - 10\% x = x - 0,1x = 0,9x\)(nghìn đồng)

Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là: \(y - 20\% y = y - 0,2y = 0,8y\)(nghìn đồng)

Vì bác Minh đã trả ít hơn \(125\;000\) đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: \(0,9x + 0,8y = 850 - 125 = 725\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 850}\\{0,9x + 0,8y = 725}\end{array}} \right.\]

Giải hệ phương trình, tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 400\end{array} \right.\)

Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: \[450\](nghìn đồng).

Giá niêm yết một chiếc quạt điện là: \[400\](nghìn đồng).

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy). Điều kiện: \(x > 0\).    

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(10\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,000x + \frac{{250}}{x}.160000 = 100\,000x + \frac{{40000000}}{x}\) (đồng)

+ Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,000x\) và \(\frac{{40000000}}{x}\), ta được:

\(\begin{array}{l}100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,000x.\frac{{40000000}}{x}} \\100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 4000\,000\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(100\,000x = \frac{{40000000}}{x}\) nên \({x^2} = \frac{{40000000}}{{100\,000}}\) suy ra \({x^2} = 400\)

Suy ra \(x = 20\) (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.