(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{4 - x}}\) với \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 64.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\)

3) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = B:A\) nhận giá trị nguyên.

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 64.\)

Thay \(x = 64\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta được: \(A = \frac{{\sqrt {64}  - 2}}{{\sqrt {64}  - 3}} = \frac{6}{5}\)

Vậy khi \(x = 64\) thì \(A = \frac{6}{5}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{4 - x}}\,\,(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9)\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x  + 3\sqrt x  - 6 - 9\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\), \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\) (đpcm)

3) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = B:A\) nhận giá trị nguyên.

Xét \(P = B:A\) , \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vì \(x \ge 0\)\( \Rightarrow \)\(\sqrt x  \ge 0\) nên \[\sqrt x  + 2 > 0\], mà \( - 5 < 0\) suy ra \[\frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} < 0\]

\( \Rightarrow \)\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} < 1\)

 \(P < 1\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \)\(\sqrt x  \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) suy ra \(\frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 5}}{2}\)

\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge 1 + \frac{{ - 5}}{2}\)

\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Vậy \(P \ge \frac{{ - 3}}{2}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{ - 3}}{2} \le P < 1\) mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ { - 1\,;\,\;0} \right\}\)

Nếu \(P = 0\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 0\) \( \Rightarrow x = 9\)(loại).

Nếu \(P =  - 1\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} =  - 1\)

\( \Rightarrow \sqrt x  - 3 =  - \sqrt x  - 2\)

\(2\sqrt x  = 1\)

\(\sqrt x  = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.