Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 phòng GD&ĐT huyện Đông Anh (Hà Nội) có đáp án

1) \[3{x^2} + 10x + 3 = 0\].

Ta có:  \[\Delta ' = 25 - 9 = 16 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 4\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{ - 5 + 4}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\];  \[{x_2} = \frac{{ - 5 - 4}}{3} =  - 3\]

2) \[13{x^2} - 14x + 1 = 0\]

Vì \[a + b + c = 13 + \left( { - 14} \right) + 1 = 0\] nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = 1\];  \[{x_2} = \frac{1}{{13}}\]

3) \[\frac{{x + 2}}{3} + \frac{{x - 3}}{2} > 1\]

\[\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{6} > \frac{6}{6}\]

\[2\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x - 3} \right) > 6\]

\[2x + 4 + 3x - 9 > 6\]

\[5x > 11\]

Vậy  bất phương trình có nghiệm \[x > \frac{{11}}{5}\].

a) Thay \[x = 25\]( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\] có \[A = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25}  + 3}} = \frac{5}{8}\].

Kết luận.

b) \[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{x - 9}}\]

\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3 + x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{x + 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\] (đpcm)

c) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\]

\[P = 1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 3}}\]

Để \[P\] có giá trị nguyên thì \[\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \]Ư(3) \[ = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\]

Lập bảng:

Vậy \[x \in \left\{ {16;36;4;0} \right\}\] thì \[P\] đạt giá trị nguyên.

Gọi \(x\,,\,y\) lần lượt là số tiền chị M đã mua trái phiếu doanh nghiệp và gửi tiết kiệm ngân hàng (đơn vị : triệu đồng ; \(0 < x\,;\,y < 500\))

Chị M đầu tư \(500\) triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 500\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo đề bài, trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất \(8{\rm{\% }}\) một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất \(7,7\,{\rm{\% }}\) một năm. Chị M nhận được tất cả là \(39,4\) triệu đồng tiền lãi nên ta có phương trình

\(x.8\,{\rm{\% }}{\rm{.}} + y.7,7\,{\rm{\% }} = 39,4\,\,\left( 2 \right)\)

Kết hợp, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x.8\,{\rm{\% }}{\rm{.}} + y.7,7\,{\rm{\% }} = 39,4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 300\,;\,y = 200\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy chị M đã mua trái phiếu doanh nghiệp với \(300\) triệu đồng và gửi tiết kiệm ngân hàng với \(200\) triệu đồng.

Gọi chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh vườn lần lượt là \(x\,,\,y\) (đơn vị \({\rm{m}}\); \(10 < x\,;\,y < 40\))

Chu vi của mảnh vườn là \(80\,{\rm{m}}\), nửa chu vi là \(80:2 = 40\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có phương trình: \(x + y = 40\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Diện tích của mảnh vườn ban đầu là \(x.y\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Nếu tăng chiều dài lên \(3\) lần và giảm chiều rộng \(10\,{\rm{m}}\) thì diện tích của mảnh vườn đó tăng thêm là \(132\,{{\rm{m}}^2}\), ta có phương trình \(3x.\left( {y - 10} \right) = xy + 132\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(3xy - 30x = xy + 132\)

\(2xy - 30x - 132 = 0\) (*)

Từ phương trình (1), ta được \(y = 40 - x\), ta thay vào phương trình (*) ta được

\(2x\left( {40 - x} \right) - 30x - 132 = 0\)

\( - 2{x^2} + 80x - 30x - 132 = 0\)

\( - 2{x^2} + 50x - 132 = 0\)

\(2{x^2} - 50x + 132 = 0\)

\(2{x^2} - 44x - 6x + 132 = 0\)

\(2x\left( {x - 22} \right) - 6\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 22} \right)\left( {2x - 6} \right) = 0\)

\(x - 22 = 0\) hoặc \(2x - 6 = 0\)

\(x = 22\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = 3\) (tmđk, Loại)

Chiều dài ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là \(22\,{\rm{m}}\)

Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là \(40 - 22 = 18\,{\rm{m}}\)

Vậy mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài \(22\,{\rm{m}}\); chiều rộng \(18\,{\rm{m}}\).

Xét phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\) (1) có dạng phương trình bậc 2 ẩn \(x\)

Xét \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4a = 9 - 4a\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\)

\(9 - 4a \ge 0\)

\(a \le \frac{9}{4}\)

Với \(a \le \frac{9}{4}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)

Áp dụng định lý Vi-et, ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}\,.\,{x_2} = a\end{array} \right.\)

Theo đề bài, phương trình có một nghiệm \(x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\), nghiệm còn lại là

\(x = 3 - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Khi đó \({x_1}\,.\,{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 1\)

Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là

\({x_1}^3 + {x_2}^3\)\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\( = {3^3} - 3.1.3\)

\( = 18\)

Vậy tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là \(18\).