(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\]và \[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{x - 9}}\] với \[x \ge 0;x \ne 9\]

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 25\].

b) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\].        

c) Cho \[P = A.B\]. Tìm các giá trị nguyên của x để \[P\] có giá trị nguyên.

a) Thay \[x = 25\]( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\] có \[A = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25}  + 3}} = \frac{5}{8}\].

Kết luận.

b) \[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{x - 9}}\]

\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 3 + x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{x + 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\] (đpcm)

c) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\]

\[P = 1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 3}}\]

Để \[P\] có giá trị nguyên thì \[\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \]Ư(3) \[ = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\]

Lập bảng:

Vậy \[x \in \left\{ {16;36;4;0} \right\}\] thì \[P\] đạt giá trị nguyên.