\[P = \frac{{x\sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} \left( {\sqrt x + \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt x + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right)}}\]

\[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x + \sqrt 2 }} = 1\]

Câu 4/12

Cho hàm số \[y = 2{x^2}\] có đồ thị là Parabol (P). Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ những điểm thuộc (P) có tung độ bằng 2.

Lời giải

Tìm được ít nhất 3 điểm thuộc đồ thị.

Vẽ được đồ thị.

Ta có\[y = 2\]. Thay \[y = 2\] vào hàm số \[y = 2{x^2}\], ta được \[2{x^2} = 2\].

Giải được \[x = \pm 1\].

Vậy tọa độ những điểm thuộc (P) có tung độ bằng 2 là (1; 2) và (-1; 2)

Câu 5/12

Chứng minh rằng phương trình \[{x^2} - 12x - 35 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \({x}_{1}\), \({x}_{2}\) và tính giá trị biểu thức: \[P = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {2{x_1} + {x_2}} \right)\].

Lời giải

\[\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - \left( { - 35} \right) = 71\]

Vì \[\Delta ' > 0\] nên phương trình \[{x^2} - 12x - 35 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\].

\[P = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {2{x_1} + {x_2}} \right) = 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2}\]

Theo định lí Viète: \[{x_1} + {x_2} = 12,{x_1}{x_2} = - 35\]

Vậy \[P = 2 \cdot {12^2} - 35 = 253\]

Câu 6/12

Bạn A có một ổ khóa số cho xe đạp như trong hình. Ổ khóa có các số từ 0 đến 9 trên mỗi vòng quay. Khóa sẽ kêu tách nhẹ khi bạn A quay lên hay quay xuống 1 số trên mỗi vòng, kể cả khi quay từ 0 đến 9 hay ngược lại. Khi nhìn vào ổ khóa thì A thấy có các số mỗi vòng đang ở vị trí 9 – 0 – 4 như hình. Mã khóa A đã cài là 5–8–7.

(a) Em hãy tính số tiếng tách ít nhất khi A cần để mở được ổ khóa.

(b) Bạn của A cũng đã mở được khóa từ vị trí 9 – 0 – 4 với số tiếng tách là nhiều nhất. Tính số tiếng tách trung bình cần để mở được ổ khóa. Xem như nó gần với trung bình cộng của số tiếng ít nhất và nhiều nhất.

Lời giải

a) Từ số 9 để quay đến số 5 cách đi ít nhất có 4 tiếng tách

Từ số 0 để quay đến số 8 cách đi ít nhất có 2 tiếng tách

Từ số 4 để quay đến số 7 cách đi ít nhất 4→5→6→7 có 3 tiếng tách

Cần ít nhất 2 + 3 + 4 = 9 tiếng tách.

b) Từ số 9 để quay đến số 5 cách đi nhiều nhất có 6 tiếng tách

Từ số 0 để quay đến số 8 cách đi nhiều nhất có 8 tiếng tách

Từ số 4 để quay đến số 7 cách đi nhiều nhất có 7 tiếng tách

Bạn của A mở khóa với 6 + 7 + 8 = 21 tiếng tách

Số tiếng tách trung bình là (21 + 9) : 2 = 15 tiếng.

Câu 7/12