Bạn A có một ổ khóa số cho xe đạp như trong hình. Ổ khóa có các số từ 0 đến 9 trên mỗi vòng quay. Khóa sẽ kêu tách nhẹ khi bạn A quay lên hay quay xuống 1 số trên mỗi vòng, kể cả khi quay từ 0 đến 9 hay ngược lại. Khi nhìn vào ổ khóa thì A thấy có các số mỗi vòng đang ở vị trí 9 – 0 – 4 như hình. Mã khóa A đã cài là 5–8–7.

(a) Em hãy tính số tiếng tách ít nhất khi A cần để mở được ổ khóa.

(b) Bạn của A cũng đã mở được khóa từ vị trí 9 – 0 – 4 với số tiếng tách là nhiều nhất. Tính số tiếng tách trung bình cần để mở được ổ khóa. Xem như nó gần với trung bình cộng của số tiếng ít nhất và nhiều nhất.

a) AB là tiếp tuyến đường tròn (O) tại B nên \[\widehat {OBA} = {90^0}\]. Tam giác OBA vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính OA.

AC là tiếp tuyến đường tròn (O) tại C nên \[\widehat {OCA} = {90^0}\]. Tam giác OCA vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Do đó O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn.

b) OB = OC (bán kính đường tròn (O)), AB = AC (AB, AC là tiếp tuyến đường tròn (O))

nên OA là đường trung trực của BC, do đó OA \[ \bot \]BC.

Trong đường tròn (O), \[\widehat {DBC} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BD\[ \bot \]BC.

Vậy BD // OA.

c) \[AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 \](cm), \[\sin \widehat {OAB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {OAB} = {30^0}\]

Lập luận được \[\widehat {CAB} = {60^0}\]

Tam giác ABC đều (AB = AC, \[\widehat {CAB} = {60^0}\]) nên Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{6} = 1\](cm)

Gọi bán kính bể cá là x (cm), (0<x<200).

Diện tích bể cá: \[S = \pi {x^2}\](cm²)

Diện tích phần trồng hoa: \[S' = \pi {200^2} - \pi {x^2} = \pi \left( {40000 - {x^2}} \right)\] (cm²)

\[\pi {x^2} = \pi \left( {40000 - {x^2}} \right)\] suy ra \[x = 100\sqrt 2 \approx 141\](cm)

Vậy theo yêu cầu trên bán kính của bể cá 141cm.