Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực TP Hồ Chí Minh 2024 - 2025 (Đề 13)

Cho phương trình $3{x^2} - 4x - 2 = 0$ có hai nghiệm là ${x_1},{x_2}$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = {x_1}x_2^2 + {x_2}\left( {x_1^2 + 2} \right) + 2{x_1}$.

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là $30{\rm{ m}}$ và chiều rộng là $20{\rm{ m}}.$ Bác Năm làm một lối đi cho khu vườn như hình vẽ (phần tô đậm).

1) Hãy viết biểu thức (thu gọn) theo $x$ và $y$ biểu thị diện tích phần còn lại của khu vườn.

Một cửa hàng xe máy điện cung cấp gói thuê pin theo tháng cho khách hàng dưới hai hình thức như sau:

⦁ Gói linh hoạt: mức giá là $189\,000$ đồng/tháng, cho phép xe di chuyển tối đa $400{\rm{ km}}.$ Nếu vượt số ki-lô-mét này, người dùng sẽ trả thêm 374 đồng cho mỗi ki-lô-mét vượt.

⦁ Gói cố định: mức giá là $350\,\,000$ đồng/tháng, không giới hạn số ki-lô-mét di chuyển.

Trung bình mỗi tháng anh Tâm di chuyển $800{\rm{ km}}$ bằng xe máy điện. Hỏi anh Tâm nên thuê pin theo hình thức nào thì tiết kiệm hơn? Và tiết kiệm được bao nhiêu tiền mỗi tháng?

Anh Huy là một nghệ nhân và anh đang thiết kế một mô hình Trái đất dạng hình cầu có thể tích $4,2\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}$.

1) Tìm bán kính của mô hình Trái đất mà anh Huy thiết kế (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

2) Anh Huy dự định làm một cái hộp bằng giấy (bao gồm cả nắp hộp) để đựng mô hình Trái đất (như hình vẽ trên). Anh đang phân vân nên làm hộp hình lập phương hay hộp hình trụ thì tốn ít giấy hơn. Hãy cho biết anh Huy nên chọn phương án nào? Biết các mặt hộp đều tiếp xúc với mô hình Trái đất và lượng giấy phát sinh là không đáng kể.

Cho biết công thức thể tích khối cầu là $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ với $R$ là bán kính khối cầu. Diện tích toàn phần hình trụ là $S = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$ với $R$ là bán kính đáy hình trụ, $h$ là chiều cao hình trụ.

Lúc 7 giờ sáng một xe máy xuất phát từ Thành phố Hồ Chí Minh đi về hướng Biên Hòa với tốc độ trung bình $40{\rm{\;km}}/$giờ. Sau đó 15 phút, một ô tô xuất phát từ Biên Hòa đi về hướng Thành phố Hồ Chí Minh với tốc độ trung bình $60{\rm{\;km}}/$giờ. Biết rằng Thành phố Hồ Chí Minh cách Biên Hòa $40{\rm{ km}}.$

⦁ Gọi $f\left( t \right) = at + b,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ là hàm số biểu diễn khoảng cách của xe máy so với Thành phố Hồ Chí Minh sau khi đi được $t$ giờ kể từ lúc 7 giờ 15 phút.

⦁ Gọi $g\left( t \right) = ct + d,\,\,\left( {0 \le t \le \frac{2}{3}} \right)$ là hàm số biểu diễn khoảng cách của ô tô so với Thành phố Hồ Chí Minh sau khi đi được $t$ giờ kể từ lúc 7 giờ 15 phút.

a) Tìm các hệ số $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d.$

b) Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và nơi gặp nhau cách Thành phố Hồ Chí Minh bao nhiêu ki-lô-mét?

Hai thùng chứa nước hình trụ đều được gắn một vòi chảy ở đáy thùng. Ban đầu chiều cao mực nước ở thùng thứ nhất hơn thùng thứ hai $0,2\,\,{\rm{m}}\,{\rm{,}}$ để vệ sinh hai thùng này bạn Hân cần mở vòi cho nước chảy hết ra ngoài. Bạn Hân bắt đầu mở vòi cho thùng thứ nhất chảy từ 8 giờ sáng và sau đó 3 phút bắt đầu mở vòi cho thùng thứ hai chảy. Khi quan sát quá trình chảy của hai thùng, Hân thấy rằng:

⦁ Tại thời điểm 8 giờ 04 phút thì chiều cao mực nước hai thùng bằng nhau.

⦁ Tại thời điểm 8 giờ 08 phút thì thùng thứ hai vừa chảy hết nước và chiều cao mực nước còn lại ở thùng thứ nhất là $0,4{\rm{\;m}}$.

Tìm chiều cao mực nước ban đầu ở mỗi thùng. Biết rằng tốc độ chảy ở mỗi vòi là không đổi.

Từ điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $\left( {O\,;R} \right)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ với đường tròn $(B,C$ là các tiếp điểm), $AO$ cắt $BC$ tại $K$.

1) Chứng minh $ABOC$ là tứ giác nội tiếp và $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC.$

2) Gọi $P$ là điểm bất kì thuộc $\left( O \right)$ sao cho tia $BO$ nằm giữa hai tia $BP$ và $BC,H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ xuống $PC,M$ là trung điểm $BH$ và $PM$ cắt $\left( O \right)$ tại $Q$ (khác $P).$ Chứng minh $\widehat {QMK} = \widehat {QCA}$.

3) Chứng minh $\widehat {AQC} = 90^\circ$ và $AC = 2R\,{\rm{tan}}\widehat {CPQ}$.