$\begin{array}{l}{A^2} = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } - \sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } } \right)^2}\\ = 8 - 2\sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } \\ = 8 - 2\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } = 8 - 2.\sqrt {{{(\sqrt 5 + 1)}^2}} \\ = 8 - 2(\sqrt 5 + 1) = 6 - 2\sqrt 5 = {(\sqrt 5 - 1)^2}\\ \Rightarrow A = 1 - \sqrt 5 .\end{array}$

Câu 2/10

Cho \[B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}\]. Chứng minh rằng \[B + 2\] không phải là số chính phương.

Lời giải

- Biến đổi: \[B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}\]\[ \Leftrightarrow 2B = 2\left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}} \right)\]\[ \Leftrightarrow 2B = {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2022}} + {2^{2023}}\]

- Tính được:

\[2B - B = {2^{2023}} - 2 \Leftrightarrow B = {2^{2023}} - 2\]

- Tính được:

\[B + 2 = {2^{2023}} - 2 + 2 = {2^{2023}}\]

- Lập luận được: Vì ${2^{2023}}$là lũy thừa với số mũ lẻ nên ${2^{2023}}$ không là số chính phương.

Vậy \[B + 2\] không là số chính phương

Câu 3/10

Cho tam giác$ABC,$ đường cao $AH{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right).$Biết${\rm{ }}BC - AB = 2cm,$$AC = 10cm$ và $\widehat {CAH} = 30^\circ $. Tính diện tích tam giác $ABC.$

Lời giải

$Cho tam giác$ABC,$ đường cao AH ( H thuộc BC ) (ảnh 1)$

- Tính được: $CH = AC.\sin 30^\circ = 5cm$

$AH = AC.c{\rm{os30}}^\circ = 5\sqrt 3 cm$

- Viết được: $A{B^2} - H{B^2} = A{H^2}$

$A{B^2} - {\left( {BC - 5} \right)^2} = {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2}$

- Lập luận: BC – AB = 2 cm ⇒ AB = BC – 2

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {BC - 2} \right)^2} - {\left( {BC - 5} \right)^2} = 75\\ \Leftrightarrow \left( {BC - 2 + BC - 5} \right)\left( {BC - 2 - BC + 5} \right) = 75\end{array}$

- Tính được: $BC = 16$cm

- Vậy ${S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{{5\sqrt 3 .16}}{2} = 40\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)$

Câu 4/10

Cho \[a,b,c\] là các số nguyên thỏa mãn \[a + b + 20c = {c^3}\].
Chứng minh rằng \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho $6.$

Lời giải

- Biến đổi được:

\[a + b + 20c = {c^3} \Leftrightarrow a + b + c = {c^3} - c - 18c\]

\[ \Leftrightarrow a + b + c = c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right) - 18c\]

- Chứng minh được:\[ \Leftrightarrow a + b + c = c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right) - 18c \vdots 6\]

- Mặt khác: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} - (a + b + c)\]

\[ = (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) + (c - 1)c(c + 1) \vdots 6\]

- Lập luận kết luận \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho 6.

Câu 5/10

Trường THCS $X$có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là $50,$ tuổi trung bình của các cô giáo là $38.$ Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo?

Lời giải

- Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường THCS X $\left( {x,y \in {N^*};x,y < 60} \right)$

- Lập luận được pt: $x + y = 60$

- Lập luận được pt:$\frac{{38x + 50y}}{{60}} = 42$

- Giải hệ pt: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 60\\\frac{{38x + 50y}}{{60}} = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 20\end{array} \right.$

- Trả lời: Cô giáo: 40 , thầy giáo: 20

Câu 6/10

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - y - 3} + {x^2} - 9 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{y^2} - 2xy + 9 = 0.{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Lời giải

- Điều kiện $2x - y - 3 \ge 0$,

- Phương trình (2) $ \Leftrightarrow $\[{\left( {y - x} \right)^2} = {x^2} - 9\]

- Phương trình \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - y - 3} + {\left( {y - x} \right)^2} = 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y - 3 = 0}\\{\,\,\,\,\,\,\,y - x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = x\end{array} \right.\]

- Kiểm tra điều kiện và kết luận hệ phương trình có nghiệm $\left( {3;3} \right)$

Câu 7/10