Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Lâm Đồng có đáp án

- Lập luận : \(A < 0\)

\(\begin{array}{l}{A^2} = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }  - \sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } } \right)^2}\\ = 8 - 2\sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } \\ = 8 - 2\sqrt {6 + 2\sqrt 5 }  = 8 - 2.\sqrt {{{(\sqrt 5  + 1)}^2}} \\ = 8 - 2(\sqrt 5  + 1) = 6 - 2\sqrt 5  = {(\sqrt 5  - 1)^2}\\ \Rightarrow A = 1 - \sqrt 5 .\end{array}\)

- Biến đổi: \[B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}\]\[ \Leftrightarrow 2B = 2\left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}} \right)\]\[ \Leftrightarrow 2B = {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2022}} + {2^{2023}}\]

- Tính được:

\[2B - B = {2^{2023}} - 2 \Leftrightarrow B = {2^{2023}} - 2\]

- Tính được:

\[B + 2 = {2^{2023}} - 2 + 2 = {2^{2023}}\]

- Lập luận được: Vì \({2^{2023}}\)là lũy thừa với số mũ lẻ nên \({2^{2023}}\) không là số chính phương.

Vậy \[B + 2\] không là số chính phương

- Biến đổi được:

\[a + b + 20c = {c^3} \Leftrightarrow a + b + c = {c^3} - c - 18c\]

 \[ \Leftrightarrow a + b + c = c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right) - 18c\]

- Chứng minh được:\[ \Leftrightarrow a + b + c = c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right) - 18c \vdots 6\]

- Mặt khác: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} - (a + b + c)\]

 \[ = (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) + (c - 1)c(c + 1) \vdots 6\]

- Lập luận kết luận  \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho 6.

- Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường THCS X \(\left( {x,y \in {N^*};x,y < 60} \right)\)

- Lập luận được pt: \(x + y = 60\)

-  Lập luận được pt:\(\frac{{38x + 50y}}{{60}} = 42\)

- Giải hệ pt: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 60\\\frac{{38x + 50y}}{{60}} = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 20\end{array} \right.\)

- Trả lời: Cô giáo: 40 , thầy giáo: 20