Cho \[B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}\]. Chứng minh rằng \[B + 2\] không phải là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Lâm Đồng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

- Biến đổi: \[B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}\]\[ \Leftrightarrow 2B = 2\left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}} \right)\]\[ \Leftrightarrow 2B = {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2022}} + {2^{2023}}\]

- Tính được:

\[2B - B = {2^{2023}} - 2 \Leftrightarrow B = {2^{2023}} - 2\]

- Tính được:

\[B + 2 = {2^{2023}} - 2 + 2 = {2^{2023}}\]

- Lập luận được: Vì ${2^{2023}}$là lũy thừa với số mũ lẻ nên ${2^{2023}}$ không là số chính phương.

Vậy \[B + 2\] không là số chính phương

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông $ABCD$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$và đường tròn$\left( {A;AB} \right)$chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là $E$( E khác B). Tia $CE$cắt $AD$ tại điểm $F.$ Chứng minh rằng $F$là trung điểm của$AD$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình vuông $ABCD$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$và đường (ảnh 1)$

- Kẻ đoạn nối tâm OA và dây chung BE $ \Rightarrow OA \bot BE$

- Chứng minh được: $BE \bot CF$

- Chứng minh được:$OA//CF$

- Chứng minh được tứ giác $AOCF$ là hình bình hành$ \Rightarrow OC = FA$.

- Lập luận: từ$OC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{AD}}{2}$$ \Rightarrow {\rm{AF}} = \frac{{AD}}{2} \Rightarrow $$F$là trung điểm của$AD$.

Câu 2

Tính giá trị biểu thức: $A = \sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } - \sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } .$

Xem đáp án

Lời giải

- Lập luận : $A < 0$

$\begin{array}{l}{A^2} = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } - \sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } } \right)^2}\\ = 8 - 2\sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } \\ = 8 - 2\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } = 8 - 2.\sqrt {{{(\sqrt 5 + 1)}^2}} \\ = 8 - 2(\sqrt 5 + 1) = 6 - 2\sqrt 5 = {(\sqrt 5 - 1)^2}\\ \Rightarrow A = 1 - \sqrt 5 .\end{array}$

Câu 3