Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {{\rm{BAD}}} > 90^\circ \).Gọi \(H\)là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(BC\). Đường trung tuyến kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\)cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)tại \(K\).Chứng minh rằng bốn điểm \(K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D,{\rm{ }}C\)cùng thuộc một đường tròn.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \[M\] là trung điểm \[AB\].
Để chứng minh bốn điểm \(K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D,{\rm{ }}C\)cùng thuộc một đường tròn, ta đi chứng minh \(\widehat {DKH} = \widehat {DCH}\).
- Chứng minh được:\(\widehat {DCH} = \widehat {ABC} = \widehat {AKC}\)
Khi đó ta đi chứng minh \(\widehat {DKA} = \widehat {HKM}\).
Bài toán được hoàn thành nếu ta chứng minh được tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM.
- Chứng minh được: \(\widehat {KAD} = \widehat {KMH}\)
Ta có:\(\widehat {KAD} = \left( {180^\circ - \widehat {KAC}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {DAC}} \right) = \widehat {KBC} + \widehat {ACH}\) mà \(\widehat {KMH} = \widehat {MHC} + \widehat {MCH} = \widehat {MBC} + \widehat {MCA} + \widehat {ACH} = \widehat {KBC} + \widehat {ACH}\)
Suy ra \(\widehat {KAD} = \widehat {KMH}\) (1)
- Chứng minh được:
\( \Rightarrow \frac{{KA}}{{KM}} = \frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{MH}} \Rightarrow \frac{{AK}}{{AD}} = \frac{{MK}}{{MH}}\) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra \( \Rightarrow \widehat {DKA} = \widehat {HKM}\)
Mà \(\widehat {DKH} = \widehat {DKA} + \widehat {AKH} = \widehat {HKM} + \widehat {AKH} = \widehat {AKC}\)
\( \Rightarrow \widehat {DKH} = \widehat {DCH}\)
Và kết luận bốn điểm \(K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D,{\rm{ }}C\) cùng thuộc một đường tròn.Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Với \[a,b > 0\], ta chứng minh \[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge a - \frac{b}{2}\].
- Áp dụng: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{{ - 1}}{{2ab}}\)
Khi đó:
\[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^{^2}}}} = \frac{{a({a^2} + {b^2}) - a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge a - \frac{{a{b^2}}}{{2ab}} = a - \frac{b}{2}\]
\[ \Rightarrow \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} \ge b - \frac{c}{2}\] \[;\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge c - \frac{a}{2}\]
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
\[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}\]
- Áp dụng:\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 4ab\)
Ta có:
\[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + 4ab + {b^2}}} \ge \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + 2({a^2} + {b^2}) + {b^2}}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}}\];\[\frac{{{b^3}}}{{{b^2} + 4bc + {c^2}}} \ge \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + 2({b^2} + {c^2}) + {c^2}}} = \frac{1}{3}.\frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}}\];\[\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + 4ac + {a^2}}} \ge \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + 2({c^2} + {a^2}) + {a^2}}} = \frac{1}{3}.\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}}\]
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
\[\begin{array}{l}\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + 4ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + 4bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + 4ca + {a^2}}}\\ \ge \frac{1}{3}\left( {\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}}} \right) \ge \frac{{a + b + c}}{6} = 1\end{array}\]
-Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = 2.\]
Lời giải
- Biến đổi được:
\[a + b + 20c = {c^3} \Leftrightarrow a + b + c = {c^3} - c - 18c\]
\[ \Leftrightarrow a + b + c = c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right) - 18c\]
- Chứng minh được:\[ \Leftrightarrow a + b + c = c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right) - 18c \vdots 6\]
- Mặt khác: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} - (a + b + c)\]
\[ = (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) + (c - 1)c(c + 1) \vdots 6\]
- Lập luận kết luận \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho 6.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập