Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {{\rm{BAD}}} > 90^\circ \).Gọi \(H\)là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(BC\). Đường trung tuyến kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\)cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)tại \(K\).Chứng minh rằng bốn điểm \(K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D,{\rm{ }}C\)cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \[M\] là trung điểm \[AB\].

Để chứng minh bốn điểm \(K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D,{\rm{ }}C\)cùng thuộc một đường tròn, ta đi chứng minh \(\widehat {DKH} = \widehat {DCH}\).

- Chứng minh được:\(\widehat {DCH} = \widehat {ABC} = \widehat {AKC}\)

Khi đó ta đi chứng minh \(\widehat {DKA} = \widehat {HKM}\).

Bài toán được hoàn thành nếu ta chứng minh được tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM.

- Chứng minh được: \(\widehat {KAD} = \widehat {KMH}\)

Ta có:\(\widehat {KAD} = \left( {180^\circ  - \widehat {KAC}} \right) + \left( {180^\circ  - \widehat {DAC}} \right) = \widehat {KBC} + \widehat {ACH}\) mà \(\widehat {KMH} = \widehat {MHC} + \widehat {MCH} = \widehat {MBC} + \widehat {MCA} + \widehat {ACH} = \widehat {KBC} + \widehat {ACH}\)

Suy ra \(\widehat {KAD} = \widehat {KMH}\) (1)

- Chứng minh được:

\( \Rightarrow \frac{{KA}}{{KM}} = \frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{MH}} \Rightarrow \frac{{AK}}{{AD}} = \frac{{MK}}{{MH}}\) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra  \( \Rightarrow \widehat {DKA} = \widehat {HKM}\)

Mà \(\widehat {DKH} = \widehat {DKA} + \widehat {AKH} = \widehat {HKM} + \widehat {AKH} = \widehat {AKC}\)

\( \Rightarrow \widehat {DKH} = \widehat {DCH}\)