Câu hỏi:

12/03/2025 383

Câu 5-6 (2,0 điểm)

1) Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\quad \left( * \right)$ \[(m\] là tham số).

a) Giải phương trình () với $m = 1.$

b) Tìm $m$ để phương trình () có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Tiền Hải_Tỉnh Thái Bình !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Thay $m = 1$ vào phương trình (*), ta được:

${x^2} - \left( {1 + 5} \right)x + 3 \cdot 1 + 6 = 0$

${x^2} - 6x + 9 = 0$

${\left( {x - 3} \right)^2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3.$

Vậy với $m = 1$ thì phương trình (*) có nghiệm $x = 3.$

b) Xét phương trình ${x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0$ (*) có $a = 1 \ne 0;\,\,b = - \left( {m + 5} \right);\,\,c = 3m + 6.$

Ta có\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3m + 6} \right)\]

\[ = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\]\[ = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi $m.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0,$ tức là ${\left( {m - 1} \right)^2} > 0,$ suy ra ${\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0$ hay $m - 1 \ne 0$ nên $m \ne 1$.

Áp dụng định lí Viète ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 6}\end{array}} \right..$

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên ${x_1} > 0,\,\,{x_2} > 0.$ Suy ra ${x_1} + {x_2} > 0$ và ${x_1}{x_2} > 0.$

Khi đó, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 5 > 0}\\{3m + 6 > 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.$ nên $m > - 2.$

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5 nên ta áp dụng định lí Pythagore, có:

$x_1^2 + x_2^2 = {5^2}$

$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 25$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25$

${\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {3m + 6} \right) = 25$

${m^2} + 10m + 25 - 6m - 12 = 25$

${m^2} + 4m - 12 = 0$

${m^2} + 6m - 2m - 12 = 0$

$m\left( {m + 6} \right) - 2\left( {m + 6} \right) = 0$

$\left( {m + 6} \right)\left( {m - 2} \right) = 0$

$m + 6 = 0$ hoặc $m - 2 = 0$

$m = - 6$ hoặc $m = 2.$

Kết hợp điều kiện $m > - 2$ suy ra $m = 2.$

Vậy $m = 2$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Mẹ của Mai gửi tiền tiết kiệm kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng với lãi suất $6\% .$ Mẹ của Mai dự định tổng số tiền nhận được sau khi gửi 12 tháng ít nhất là 159 triệu đồng. Hỏi mẹ của Mai phải gửi số tiền tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu tiền để đạt được dự định đó?

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Gọi số tiền tiết kiệm mà mẹ Mai gửi ngân hàng là \[x\] (triệu đồng) $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó, số tiền lãi sau 12 tháng nhận được là: $x \cdot 6\% = 0,06x$ (triệu đồng).

Tổng số tiền nhận được sau khi gửi 12 tháng là: $x + 0,06x = 1,06x$ (triệu đồng).

Theo đề bài, mẹ của Mai dự định tổng số tiền nhận được sau khi gửi 12 tháng ít nhất là 159 triệu đồng nên ta có bất phương trình: $1,06x \ge 159.$

Giải bất phương trình:

$1,06x \ge 159$

$x \ge 150$ (thỏa mãn).

Vậy mẹ của Mai phải gửi số tiền tiết kiệm ít nhất là 150 triệu đồng.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1) Chứng minh rằng tứ giác \[DHEC\] nội tiếp.

Xem đáp án

Lời giải

$1) Chứng minh rằng tứ giác \[DHEC\] nội tiếp. (ảnh 1)$

Vì $AD \bot BC,\,\,BE \bot AC$ nên: $\widehat {HDC} = 90^\circ ,$ $\widehat {HEC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta DHC$ vuông tại \[D\] nên ba điểm \[D,\,\,H,\,\,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính $HC.$

Xét $\Delta EHC$ vuông tại \[E\] nên ba điểm \[E,\,\,H,\,\,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính $HC.$

Suy ra bốn điểm \[D,\,\,H,\,\,E,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HC,\] do đó tứ giác \[DHEC\] nội tiếp.

Câu 2

1) Rút gọn biểu thức $P.$

Xem đáp án

Lời giải

1) Với $a \ge 0,\,\,a \ne 9,$ ta có:

$P = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}} + \frac{{ - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}$

\[ = \frac{{2\sqrt a \cdot \left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} + \frac{{ - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{2a - 6\sqrt a + a + 3\sqrt a + \sqrt a + 3 - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}\]

$ = \frac{{3a - 9\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt a \left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}.$

Vậy với $a \ge 0,\,\,a \ne 9$ thì $P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}.$

Câu 3