Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Thanh Hóa (có đáp án)

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

(1,5 điểm)

a) Giải phương trình: \(2{x^2} + 3x - 5 = 0\).

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 6}\\{x + 2y = 2}\end{array}} \right.\).

(1,0 điểm) Một thiết bị thí nghiệm dùng để đựng nước có dạng hình nón rỗng đáy, được đặt lên giá theo phương thẳng đứng. Biết rằng, thiết bị có chiều cao bằng \(24{\rm{cm}}\), đường kính đáy bằng \(12{\rm{cm}}\) và độ dày của thành không đáng kể (hình vẽ bên).

a) Tính thể tích nước tối đa mà thiết bị đó có thể đựng được theo đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) (lấy \(\pi  \approx 3,14).\)

b) Bỏ vào bên trong thiết bị ba viên bi hình cầu không thấm nước có cùng bán kính. Sau đó, đổ thêm vào thiết bị đó bốn cốc đầy nước, phần nước trong mỗi cốc có dạng hình trụ với bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng 7,5 cm. Quan sát thấy mực nước bên trong thiết bị dâng lên vừa bằng miệng nón, các viên bi bị ngập hoàn toàn trong nước. Tính bán kính của mỗi viên bi. Biết rằng ban đầu thiết bị không chứa nước. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy theo đơn vị cm).

(2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) ở bên ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) với đường tròn đó \((A,B\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh \(AOBM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(OM\) và \(AB\), \(K\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(BI\). Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(OK\) tại \(H\). Chứng minh \(OK.OH = {R^2}\).

c) Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), đường thẳng \(MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(C\) (\(C\) khác \(D\)). Gọi \(E\) là trung điểm của \(MI\). Chứng minh ba điểm \(A,C,E\) thẳng hàng.

(0,5 điểm) Một doanh nghiệp muốn quy hoạch một khu đất có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) với diện tích \(67500{{\rm{m}}^2}\) để làm khu liên hợp thể thao. Khu đất quy hoạch \(ABCD\) được mở rộng thành một khu đất có dạng là hình tròn đường kính \(AC\) và phần đất mở rộng thêm đó được dùng làm khu sinh thái (minh họa hình vẽ bên). Gọi \(x\) và \(y\) (theo đơn vị mét) là các kích thước của hình chữ nhật \(ABCD\).

a) Tính diện tích phần đất làm khu sinh thái theo \(x\) và \(y\).

b) Doanh nghiệp muốn thiết kế sao cho các kích thước \(x,y\) là các số tự nhiên và phần diện tích đất làm khu sinh thái đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hãy tính chu vi của khu đất \(ABCD\) theo đơn vị mét.