(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].
a) Tính giá trị của biểu thức \[N\] khi \[x = 25\].
b) Rút gọn biểu thức \[S = M.N\].
c) Tìm tất cả các giá trị của \[x\] sao \[S < - 1\].
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].
a) Tính giá trị của biểu thức \[N\] khi \[x = 25\].b) Rút gọn biểu thức \[S = M.N\].
c) Tìm tất cả các giá trị của \[x\] sao \[S < - 1\].
Câu hỏi trong đề: Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 21 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Có \(M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].
a) Thay \[x = 25\] (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(N\), ta có \(N = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} }} = \frac{6}{5}\).
Vậy với \[x = 25\] thì giá trị của biểu thức \(N = \frac{6}{5}\).
b) Ta có: \(M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}\)
\[M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[M = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
\[M = \frac{{x + \sqrt x - 2 - x + \sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
\[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
+) Có \[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]; \(N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) mà \[S = M.N\]
Nên \[S = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{2}{{x - 1}}\].
Vậy \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] khi \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].
c) Có \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] (\[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\]). Mà \[S < - 1\] nên có \[\frac{2}{{x - 1}} < - 1\].
Do đó: \(\frac{{2 + x - 1}}{{x - 1}} < 0\) hay \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0\) (1)
Vì \(x > 0\) nên \(x + 1 > 0\) (2)
Từ (1) (2), ta có: \(x - 1 < 0\) nên \(x < 1\).
Kết hợp điều kiện xác định \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\] ta có: \(0 < x < 1\).
Vậy \(0 < x < 1\) thì \(S < - 1\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \[x\] là số tiền đôi giầy lúc chưa giảm giá (\(x > 0;\) đồng)
Gọi \[y\] là số cà vạt lúc chưa giảm giá (\(y > 0;\) đồng)
Theo bài ra:
+) Số tiền mua mỗi đôi giầy gấp \[11\] lần tiền mua mỗi chiếc cà vạt không giảm giá nên ta có phương trình \[x = 11y\] (1)
+) Vì giảm giá \[18\% \] cho mỗi đôi giầy và \[20\% \] cho mỗi chiếc cà vạt nên số tiền cần phải trả để mua giầy là \(\left( {100 - 18} \right)\% x = 0,82x\) (đồng) và số tiền cần trả để mua cà vạt là \(\left( {100 - 20} \right)\% y = 0,8y\) (đồng). Bạn Duy đã dùng \[834{\rm{ }}700\] đồng nên ta có phương trình: \(0,82x + 0,8y = 834{\rm{ }}700\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 11y\\0,82x + 0,8y = 834\,700\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình ta được \[x = 935{\rm{ }}000;{\rm{ }}y = 85{\rm{ }}000\]
Do đó khi chưa giảm giá số tiền mua đôi giầy và cà vạt là:
\[935{\rm{ }}000 + 85{\rm{ }}000 = 1{\rm{ 020 000}}\] đồng
Vậy với số tiền 1 025 000 đồng bạn Duy đủ tiền mua nên bạn nhẩm chưa đúng.
Lời giải
Gọi \[a\] (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ \[\left( {a > 0} \right)\]
Theo đề bài ta có chiều cao của lăng trụ là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\)
Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:
\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có \(S \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\) hay \(a = 5\).
Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) khi độ dài cạnh đáy là \(5{\rm{d}}m\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập