(2,5 điểm)

Tìm các hệ số \[x,y\] trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:

       \[2Al + xC{l_2} \to yAlC{l_3}\]

(ĐK x \( \in {N^*}\))

*Theo kế hoạch:

+ Tổng số sản phẩm làm là \[3000\] (tấm)

+ Thời gian dự định hoàn thành là   \(\frac{{3000}}{x}\) (ngày)

*Thực tế:

-        \[8\] ngày đầu phân xưởng thực hiện đúng kế hoạch nên phân xưởng đã làm được là  \[8x\] (sản phẩm)

-        Số sản phẩm phải làm trong những ngày còn lại là \[3000 - 8x\] (sp)

-        Năng xuất làm trong những ngày còn lại là \[x + 10\] (tấm / ngày)

-        Thời gian hoàn thành số sản phẩm còn lại là \(\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn kế hoạch là 2 ngày nên ta có phương trình

\(\frac{{3000}}{x} - \left( {\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 8} \right) = 2\)

\(\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - 8 = 2\)

\(\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} = 2 + 8 = 10\)

\(\frac{{3000\left( {x + 10} \right) - x.\left( {3000 - 8x} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{10x.\left( {x + 10} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}}\)

\(3000x + 30000 - 3000x + 8{x^2} = 10{x^2} + 100x\)

\(10{x^2} - 8{x^2} + 100x - 30000 = 0\)

\(2{x^2} + 100x - 30000 = 0\)

\({x^2} + 50x - 15000 = 0\)

\(\left( {x - 100} \right).\left( {x + 150} \right) = 0\)

\[x = 100\] (tmđk) hoặc \[x =  - 150\] ( ko tmđk)

Vậy số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là 100 (tấm)

Xét phương trình \[2{x^2} - 3x - 1 = 0\] (1)  có \[a = 2,b =  - 3,c =  - 1\]

Do \[a.c =  - 2 < 0\] nên pt(1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}{x_2}\]

Áp dụng hệ thức viete có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\]

Do đó \[A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2 - 2}}{{{x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]\[ = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2}}{{\frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{2} + 1}}\]\[ = \frac{{\frac{9}{4} + 1 - 2}}{{1 + 1}} = \frac{5}{4}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}\]