(1,5 điểm)  Cho biểu thức\[P = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{3\sqrt x }}\] và \[Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{9 - x}}\]

với  \[x \ge 0\] và \[x \ne 9\]

1) Tính giá trị của biểu thức P khi \[x = 4\]

2) Chứng minh: \[Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\]

3) Tìm \[x \in \mathbb{Z}\]để \[A \ge 2\]với \[A = P.Q\]

\[P = \frac{{\sqrt 4  + 8}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\] 

 Vậy \[x = 4\] thì \[P = \frac{5}{3}\]

\[2)\] Với \[x \ge 0;x \ne 9\] Ta có

\[\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{9 - x}}\\Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\end{array}\]

\[Q = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) - 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

2)    Ta có \[A = P.Q = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\]

Để \[A \ge 2\]thì \[\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 2\] suy ra \[\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} - 2 \ge 0\]  suy ra \[\frac{{ - \sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 0\]

 Suy ra \[ - \sqrt x  + 2 \ge 0\] (Vì \[\sqrt x  + 3 > 0\]\[\forall x > 0,x \ne 9\])

\[ - \sqrt x  \ge  - 2\] suy ra \[\sqrt x  \le 2\] thì \[x \le 4\]

Kết hợp với điều kiện \[x > 0,x \ne 9\] và \[x \in \mathbb{Z}\]

Vậy \[x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\]thì \[A \ge 2\]