1. Giải phương trình \[\sqrt {\frac{{3x - 2}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{3 - x}}{{x - 1}}} = 1.\]
2. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2x + 4y - 1\\xy + x + 2y = 1\end{array} \right.\].
1. Giải phương trình \[\sqrt {\frac{{3x - 2}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{3 - x}}{{x - 1}}} = 1.\]
2. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2x + 4y - 1\\xy + x + 2y = 1\end{array} \right.\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) \[\sqrt {\frac{{3x - 2}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{3 - x}}{{x - 1}}} = 1\]
ĐK: \(1 < x \le 3\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 1} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} \)
\( \Leftrightarrow 3x - 2 = x - 1 + 3 - x + 2\sqrt {(x - 1)(3 - x)} \)
\( \Leftrightarrow 3x - 4 = 2\sqrt {(x - 1)(3 - x)} \) (*)
(*) có điều kiện: \(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3}\)
(*) \( \Leftrightarrow 9{x^2} - 24x + 16 = 4(x - 1)(3 - x)\)
\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 24x + 16 = - 4{x^2} + 16x - 12\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13{x^2} - 40x + 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2(n)\\x = \frac{{14}}{{13}}(l)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình: \(x = 2\).
2)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2x + 4y - 1\\xy + x + 2y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2(1 - xy) - 1\\x + 2y = 1 - xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + 3xy = 1(1)\\x + 2y = 1 - xy(2)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {(x + y)^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + 3xy - 1 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - {1^3} - 3xy(x + y - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + x + y + 1 - 3xy} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)
Với \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\) thay vào (2) ta được:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \)\(1 - y + 2y = 1 - (1 - y)y\)\( \Leftrightarrow y\left( {y - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow x = 1\\y = 2 \Rightarrow x = - 1\end{array} \right.\)
Với : \({x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x + 2y + 2 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = - 1\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \((1;0),(2; - 1),( - 1; - 1)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Hoành độ giao điểm của (P) và (d)
\[{x^2} = (m + 1)x - m + 5\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 5 = 0\](*)
Ta có \[\Delta = {(m + 1)^2} - 4(m - 5)\]
\[ = {m^2} - 2m + 21\]
\[ = {(m - 1)^2} + 20 > 0\]
Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Theo hệ thức vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)
(*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = m(x - 1)\)
Xét \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow x - \frac{5}{{x - 1}} = m\) (1)
Vì \({x_1};{x_2} \in Z\)nên \(m + 1\) và \(m - 5\) là các số nguyên do đó \(m\)cũng là số nguyên
Từ (1) ta có
\(m \in Z\) khi \(\left( {x - \frac{5}{{x - 1}}} \right) \in Z\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \in Z\\5 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(m = - 3;m = 5\)
\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 5 \Leftrightarrow x = - 4 \Rightarrow m = - 3\\x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 6 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow m = - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(m = - 3;m = 5\) thỏa yêu cầu bài toán
2) \[{x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 16{y^2} + 12x - 16y + 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} - 3{x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 4x + 8x + 8 = 16{y^2} + 16y + 4\]
\[ \Leftrightarrow (x + 1){x^3} + 3{x^2}(x + 1) + 4x(x + 1) + 8(x + 1) = 16{y^2} + 16y + 4\]
\( \Leftrightarrow (x + 1)({x^3} - 3{x^2} + 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)
\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2}({x^2} - 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)
Vì \(y \in z \Rightarrow 4y + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1\)
Vì \(x,y \in z\) nên \({(x + 1)^2}\) và \({(4y + 2)^2}\) là số chính phương khác 0 nên \(({x^2} - 4x + 8)\) cũng là số chính phương
Đặt \({x^2} - 4x + 8 = m\) \((m \in {N^*})\)
\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + 4 = {m^2}\)
\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} - {m^2} = - 4\)
\( \Leftrightarrow (x - 2 - m)(x - 2 + m) = - {4^{(*)}}\)
Do \(x - 2 - m < x - 2 + m\)
Nên\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m = - 4\\x - 2 + m = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m = - 2\\x - 2 + m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m = - 1\\x - 2 + m = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\]\(x = - 2 \Rightarrow {(4y + 2)^2} = 4\) \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y + 2 = 2\\4y + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y = 0\\4y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - 1\end{array} \right.\]
Vậy nghiệm nguyên thỏa ycbt là: (– 2; 0); (– 2; – 1).
Lời giải
1)
a)
- Xét tứ giác \(BFEC\) có:
\(\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(BFEC\)nội tiếp ( 2 góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau)
- Xét \(\Delta KEF\)và \(\Delta KBE\)có:
\(\widehat K\) là góc chung
\(\widehat {KCF} = \widehat {KEB}\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
\( \Rightarrow \Delta KEF\)đồng dạng với \(\Delta KBE\)
\( \Rightarrow \frac{{KF}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KE}} \Leftrightarrow KF.KE = KC.KB\) (đ.p.c.m) \((1)\)
b) Ta có: \(\Delta KIB\) đồng dạng \(\Delta KBA\) (g . g)
\( \Rightarrow \frac{{KI}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KA}} \Leftrightarrow KI.KA = KB.KC\) \((2)\)
Từ \((1)\)và \((2)\) suy ra \(KE.KF = KI.KA\)
\( \Leftrightarrow \frac{{KE}}{{KI}} = \frac{{KA}}{{KF}}\)
Mà \(\widehat K\) là góc chung
Suy ra \(\Delta KEA\) đồng dạng \(\Delta KIF\) \( \Rightarrow \widehat {KEA} = \widehat {KIF}\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(IAEF\)nội tiếp ( góc trong bằng góc đối ngoài )
Mặt khác \(AEHF\)nội tiếp đường tròn đường kính AH (\(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\))
Nên: \(I,A,E,F,H\)cùng thuộc một đường tròn đường kính AH
\( \Rightarrow \widehat {IHA} = 90^\circ \)
Mà : \(\widehat {NIA} = 90^\circ \) ( góc chắn nữa đường tròn )
Suy ra : \(N,I,H\) thẳng hàng
Kẻ đường kính \(AN\) của đường tròn \(\left( O \right)\) ; \(N \in \left( O \right)\)
Xét tứ giác \(BHCN\) có :
\(BH{\rm{//}}CN\) ( cùng vuông góc với AB)
\(CH{\rm{//}}BN\)( cùng vuông góc với AC)
\( \Rightarrow BHCN\)là hình bình hành
Mà M là trung điểm của BC \( \Rightarrow M \in HN\)
Suy ra \(M,I,H\) thẳng hàng2)
\(\begin{array}{l}V = \frac{4}{3}{R^3}\pi + {R^2}\pi .20\\ = \frac{4}{3}{.4^3}.\pi + {20.4^2}.\pi \\ = \frac{{1216}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right)\end{array}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập