Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính \(AB\). Lấy điểm \(I\) bất kỳ thuộc đoạn thẳng \(AB\) (\(I\) khác \(A\) và \(B\)). Qua \(I\) kẻ một đường thẳng \(d\) bất kỳ cắt đường tròn \((O)\) tại \(M\,\)và \(N\) sao cho \(AM < AN\) (\(M\) khác \(A\) và \(B\); \(N\) khác \(A\) và \(B\)). Từ \(A\) kẻ \(AP\) vuông góc với \(MN\) tại \(P\), từ \(I\) kẻ \(IQ\) vuông góc với \(AN\) tại \(Q.\) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(APIQ\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(PM.AI = MA.QI.\)

c) \(AM.BN + AN.BM \le 4{R^2}.\)

1. Cho phương trình: \({x^2} - 8x + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) sao cho biểu thức \[P = (x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1) + 2087\] đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Một đội xe dự định chở 120 tấn xi măng vào công trường. Khi chuẩn bị khởi hành thì đội xe được bổ sung thêm 5 chiếc xe nữa, nên cả đội đã chở thêm được 5 tấn và mỗi xe chở ít hơn so với dự định là 1 tấn xi măng. Hỏi theo dự định đội xe có bao nhiêu chiếc xe? Biết khối lượng xi măng mỗi xe chở là như nhau và mỗi xe chỉ chở đúng một chuyến.

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(2{x^2} + 3xy + {y^2} + 5x + 3y = 11\).

2. Cho \(a,\,b\) là các số thực thỏa mãn \(4{a^2} - 2ab + {b^2} = 4a + 2b\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 253\left( {2a + b} \right)\).