Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính \(AB\). Lấy điểm \(I\) bất kỳ thuộc đoạn thẳng \(AB\) (\(I\) khác \(A\) và \(B\)). Qua \(I\) kẻ một đường thẳng \(d\) bất kỳ cắt đường tròn \((O)\) tại \(M\,\)và \(N\) sao cho \(AM < AN\) (\(M\) khác \(A\) và \(B\); \(N\) khác \(A\) và \(B\)). Từ \(A\) kẻ \(AP\) vuông góc với \(MN\) tại \(P\), từ \(I\) kẻ \(IQ\) vuông góc với \(AN\) tại \(Q.\) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(APIQ\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(PM.AI = MA.QI.\)

c) \(AM.BN + AN.BM \le 4{R^2}.\)

1)\({\Delta ^'} = 16 - (m - 1) = 17 - m\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta ^'} \ge 0 \Leftrightarrow m \le 17\)

Áp dụng hệ thức Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = 8;{\rm{  }}{x_1}{x_2} = m - 1\)

\[P = {({x_1}{x_2})^2} - {x_1}^2 - {x_2}^2 + 2088 = {({x_1}{x_2})^2} - {({x_1} + {x_2})^2} + 2{x_1}{x_2} + 2088\]

\[ = {(m - 1)^2} - {8^2} + 2(m - 1) + 2088 = {m^2} + 2023 \ge 2023\].

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = 0\,\,(TM)\)

2)Gọi số chiếc xe ban đầu của đội xe là \[x\] (\(x \in {N^*}\))

½ Số tấn xi măng mỗi xe phải chở theo dự định là: \(\frac{{120}}{x}\) (tấn).

Lập được phương trình: \(\frac{{120}}{x} = \frac{{125}}{{x + 5}} + 1\)

Giải phương trình tìm được \({x_1} = 20\,\,(TM);{\rm{ }}{x_2} =  - 30\,\,(KTM)\)

KL: …

1.\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3xy + {y^2} + 5x + 3y = 11\\ \Leftrightarrow (x + y + 2)(2x + y + 1) = 13\end{array}\) 

Vì x, y nguyên nên (x;y) = (13; –14); (–12; 23); (–11; 8); (13; –28)

2.\(4{a^2} - 2ab + {b^2} = 4a + 2b \Leftrightarrow {a^2} - a.\frac{b}{2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = a + \frac{b}{2}\)

Đặt \(m = \frac{b}{2}\), ta có \({a^2} - am + {m^2} = a + m{\rm{  }}\left( 1 \right)\) và \(P = 253\left( {2a + b} \right) = 506\left( {a + \frac{b}{2}} \right) = 506\left( {a + m} \right)\)

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {a + m} \right)^2} - 3{\rm{am}} = a + m \Leftrightarrow {\left( {a + m} \right)^2} = \left( {a + m} \right) + 3{\rm{am}}\].

Chứng minh được  \({\left( {a + m} \right)^2} \ge 4{\rm{am}} \Leftrightarrow am \le \frac{{{{\left( {a + m} \right)}^2}}}{4}\).

Suy ra \({\left( {a + m} \right)^2} = \left( {a + m} \right) + 3{\rm{am}} \le \left( {a + m} \right) + \frac{3}{4}{\left( {a + m} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{4}{\left( {a + m} \right)^2} \le a + m\)

\[ \Leftrightarrow \left( {a + m} \right)\left[ {\left( {a + m} \right) - 4} \right] \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a + m \le 4\].

Do đó \(0 \le P \le 4.506 \Leftrightarrow 0 \le P \le 2024\).

Vậy \(\,\max P = 2024 \Leftrightarrow a = m = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\).