(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức: A = $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+9}$ và B = $\frac{3}{\sqrt{x}+2}- \frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{9\sqrt{x}-10}{4-x}$ với $x\ge 0$, x khác 4

Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x =  - \frac{3}{2}\,\, \cdot \,\,\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}\).

Ta có: \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{4 - x}}\)

                  \( = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

                 \( = \frac{{3\sqrt x  - 6 + x + 2\sqrt x  - 9\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

                 \( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

                 \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

                \( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\).

Ta có: \(P = B:A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 9}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\,\, \cdot \,\,\frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = 1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vì \(7 > 0\), \(\sqrt x  + 2 > 0\) nên \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} > 0\).

Do \(\sqrt x  \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 2\), suy ra \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\)

Do đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\), suy ra \(1 < \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} + 1 \le \frac{7}{2} + 1\) hay \(1 < P < \frac{9}{2}\).

Mà \(P\) là số chính phương nên \(P = 4\).

Với \(P = 4\), ta có \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} = 3\)

                           \(\sqrt x  + 2 = \frac{7}{3}\)

                                   \(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn điều kiện).

            Vậy \(x = \frac{1}{9}\)thì thoả mãn đề bài.